Gravitationskaft - luftballong

Jag försöker lösa uppgiften mha Newtons andra lag:
F = Ma = Mg. (Väljer att utesluta luftballongens kraft uppåt då den är konstant hela tiden. Den som känner sig bekvämare att ta med den kan väl skriva till ' + C ' eller liknande). Utan att kasta av någon vikt är accelerationen neråt. Att slänga av vikter så att acceleration är lika stor men uppåt borde kunna formuleras på följande sätt:
-F = -Ma = (M-m)g
och sedan bara lösa ut m:
-Ma = Mg - mg <=>
mg = Mg + Ma <=>
m = M(g+a)/g

I facit står det annorlunda dock, och jag vet inte var jag gjort fel. Någon som har en idé?

Du gör fel som struntar i lyftkraften.

Två krafter verkar på den sjunkande luftballongen: gravitationen Mg och lyftkraften L.
Accelerationen ges då genom Ma = Mg - L, dvs a = g - L/M

När vikterna (massa m) är avkastade så att accelerationen i stället är uppåtriktad (-a) har totala massan ändrats till M-m, så gravitationskraften är (M-m)g. Lyftkraften är dock oförändrad L. Alltså har vi nu sambandet (M-m)(-a) = (M-m)g - L.

Vi har alltså Ma - Mg = -L = (M-m)(-a) - (M-m)g, dvs Ma - Mg = -Ma + ma - Mg + mg, vilket ger
m = 2Ma/(a+g).

Är detta vad som står i facit?

Yes, det är korrekt. Jag förstår dock inte logiken.

Varför måste man gå vägen via
Ma - Mg = -L = (M-m)(-a) - (M-m)g
istället för att redan vid
(M-m)(-a) = (M-m)g - L
möblera om och få ett uttryck för m? Dvs
m = (M(a+g)-L)/(a+g)


Tack.

Därför att du inte känner L. Den måste därför elimineras.

Känner ju ingen annan heller? Bara g är känd.

Du känner dem visserligen inte till värdet, men M och a är givna storheter, medan L har vi infört i beräkningarna.

Då tror jag att jag fattar. Tack