Fysik B uppgift - Harmoniska Svängningar

Nu sitter jag fast igen med några repetitions uppgifter i Fysik B. Har inget facit.

Uppgift #1:

En svängninsrörelses elongation (y m) beror av tiden (t s) på följande sätt:
y = 0.15 sin(10t)

a) Ange hastigheten som en funktion av t.
b) Ange accelerationnen som en funktion av t.

Uppgift #2:

En viss harmonisk svängninsrörelse har amplituden 0.46m och svängningstiden 2.0s

a) Hur stor är genomsnittsfarten i rörelsen från det ena vändläget till det andra?
b) Hur stor är momentanhastigheten, när punkten mitt emellan väldlägena passeras?
c) Ange elongationen y som funktion av tiden t.


Det jag har kommit fram till är:

#1 a) Derivera y funktionen. Fick fram 1,5 cos(10)t. Är detta korrekt?
#1 b) Derivera "derivatan". Fick fram -15 sin(10)t. Antagligen inte korrekt.

#2 a) y = 0.46 sin(2t) . Derivera, 0.92 cos(2) m/s.
#2 b) Inte kommit fram till något, men antar att man ska derivera och sätta värdet på t, för att få fram hastigheten i en viss punkt.


Tack så mycket om ni kan hjälpa, det behövs! som sagt innan, har inget facit.

Din lösning på upgift 1 är korrekt! Derivata på derivata kallas för övrigt andraderivata

Jo, det vet jag. Jag kom inte på ordet

på första tänkte jag bara fixa ett matteslarv:
D[0.15 sin(10t)] = 1,5cos(10t)

2. Grundformeln är y=Asin(ωt)
med värden blir det då y=0,46sin(ωt)
Genomsnittsfarten, alltså medelvärdet mellan två vändlägen är (0+0+max)/3 eftersom 0 är hastigheten i de både vändlägena
derivera m.a.p t, y'=0,46ωcos(ωt)
Maxhastighet har man då |cos(ωt)|=1 eftersom det är det största värdet cos kan ha. lägsta är då cos(ωt)=0. Maxhastighet får vi både vid t=0 och igen när t=2 så då vet du att |cos(ω2)|=1 => ω=π/2+nπ {n=heltal}

(0+0,46ω+0)/3=0,46ω/3=0,46π/6 (+πn) m/s

b) mitt emellan är alltid den högsta hastigheten. det måste vara när cos(ωt)=1 alltså 0,46ω*1=0,23π(+πn)


c) y(t)=0,46sin(ωt) ? eller?

Shit vad du rör till saker. Jag brukar förstå, men det där var lite väl rörigt.

a) v = s/t = 0.46/1 = 0.46 m/s (halva tiden då amplituden utgör halva sträckan)

c) s(t) = A*sin(k*t)
A = 0.46
2π/k = 2 (då talet k ger perioden 2)
k = π

Då får vi s(t) = 0.46*sin(πt)

b) s(t) = 0 fås vid t = 0, ±1, ±2, ±3, ...
v(t) = s'(t) = 0.46π*cos(πt)
Insättning ger v(t) = ±0.46π

När man deriverar sammansatta funktioner tar man alltid yttre funktionens derivata (dvs D[sin(z)]=cos(z)) z är den inre funktionen som står i sinfunktionen (pi*t) och derivatan av detta (pi), ska in sin tur multipliceras med den yttre funktionens derivata (skit, nu blev säkert krångligt igen). D[f(g(x))]=f'(g(x))g'(x)

Om du tänker dig att det är något som hänger i en fjäder som guppar upp ner och vill räkna medelhastigheten mellan när den är högst upp och längst ner så är hastigheten noll i vändlägena eftersom för att börja gå åt motsatta håll, måste man först stanna.

v(t)=0,46ωcos(ωt) det är bara derivatan på elongationsformeln.
Sen får jag ursäkta att jag glömt att man använder ω=2pi/T där T är periodtiden=2 sekunder => ω=pi rad/s

Med ω=pi, tar du fram maxhastigheten, vilket är då cos(ωt)=1, alltså 0,46ω*1=0,46*pi
Så för att få medelhastigheten måste du tänka på att i första vändläget är v=0 sen accelereras det och mitt emellan har du maxhastighet på 0,46pi och därefter bromsar fjädern till 0 i det andra vändläget.
Medelhastigheten blir då (0+0,46pi+0)/3 = ca 0,46m/s, lite mer eftersom jag strök pi mot 3.


Sen kan du se att maxhastigheten är då fjädern är i jämviktsläget dvs 0,2,osv genom att måla upp sin och cos-kurvorna. När tiden är 0, då är fjädern i jämviktsläge (0,46sin(pi*0)=0 (eftersom sin(0)=0)) men hastigheten är max (0,46pi*cos(pi*0)=0,46pi (eftersom cos(0)=1 vilket är maximala värdet för cos)
vid t=1 och t=2 kommer du få elongationen till 0 igen och hastigheten till +-0,46pi m/s