MacLaurenutvecklingen av ln(1+x), hur kan den se ut som den gör?

MacLaurenutvecklingen av f(x) där x är nära noll är:

Pn(x)=f(x)+(f'(x)/1!)x+...+f^(n)(x)/(n!)+x^n

med f^(n)(x) menar jag förstås n:te-derivatan avf(x).

Hur kommer det sig att standardutvecklingen av f(x)=ln(x+1) är

x-(x^2)/2+(x^3)/3 o.s.v. ? Det tycks mig enligt ovan att första termen borde vara f(x)=ln(x+1), men det kan ju inte heller stämma ty om meningen med utvecklingen är ju att vi ska slippa räkna med ln(x+1)...

Jag har läst om styckena om satsen i boken några gånger och begriper inte riktigt hur detta hänger ihop.

Tack!

Du har skrivit av formeln fel. Det är så att

Pn(x) = f(0) + f'(0)*x + f''(0)*x^2/2! + f'''(0)*x^3/3! + ...

Med f(x) = ln(1 + x) så blir f(0) = ln 1 = 0 och f'(x) = 1/(1 + x) ger f'(0) = 1/(1 + 0) = 1 medan f''(x) = -1/(1 + x)^2 så f''(0) = -1/2. Resterande beräknar du på samma sätt.

Då erhålls Pn(x) = 0 + x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 + ...

För det första har du har fel uttryck för maclaurinutvecklingen kring 0, det ska vara
f(x)=f(0) + xf'(0) + x^2 f''(0)/2! + x^3 f'''(0)/3! + ...
Det är nog det som förvirrar dig, skulle jag tro. Det du gör med ln(1+x) är att utveckla kring 1, istället för runt 0. Taylorutvecklingen av f kring någon punkt a ser ut som
f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + (x-a)^2 f''(a)/2! + (x-a)^3 f'''(a)/3! + ...
så i ditt exempel är alltså a=1, och x litet. Vi får då
ln(1+x) = ln(1) + x (ln)'(1) + x^2 (ln)''(1)/2! + x^3(ln)'''(1)/3! +... = 0 + x (1/1) + x^2 (-1/1^2)/2 + x^3 (2/1)/3! +... = x- x^2/2+ x^3/3 + ...

Aah, ok, så funktionen av x samt derivatorna av x som finns i termerna är alltid funktionen/derivatan av noll, men x:en som finns i varje term är "riktiga" x som bör vara nära noll för att ge bra värden?

Tack!

Om det är McLaurinutveckling ja. Man kan skilja det så här:

Taylor: Vi utvecklar funktionen kring x = a ger:

f(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)*(x - a)^2/2! + f'''(a)*(x - 3)^3/3! + ...

och approximationen är som bäst kring x = a.

MacLaurin: Vi utvecklar funktionen kring x = 0 ger:

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ...

Alltså: Taylorutveckling är det generella med utveckling kring x = a där a kan vara vad för ändligt tal som helst så länge derivator osv existerar. MacLaurin är specialfallet när a = 0 dvs utveckling kring x = 0.

är det det här du söker?

(1+x)^(-1) = 1-x+x^2-x^3+x^4....
integrera båda sidor

ln(1+x) = x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5....