Beräkning av en series summa

Hej!

Jag skulle behöva räkna ut summan

Σ k=1 till ∞ (2^(3k) / 3^(2k))

hur gör jag? Tack!

Det är en geometrisk summa där termerna är
2^(3k) / 3^(2k) = (2^3)^k / (3^2)^k = (2^3 / 3^2)^k = (8/9)^k

Mhm, ok. Tack.

De termerna bildar sen delsummorna, som är vad man summerar för att få seriens gränsvärde, eller?
Jag är lite rostig på begreppen.

∑(8/9)^k (från k = 1 till ∞) = 1/(1-8/9) - 1 = 8

ty

∑x^k = (1-x^n)/(1-x) (från k = 0 till n) om |x| < 1

Låter du n → ∞ så kommer x^n → 0, därav

∑x^k = 1/(1-x) (från k = 0 till n) om |x| < 1

Men vi summerar ju från k = 1, därför måste vi dra bort termen där k = 0

∑x^k = 1/(1-x) - x^0 = 1/(1-x) - 1 (från k = 1 till n) om |x| < 1

Följden kommer se ut som
(8/9)^1 + (8/9)^2 + (8/9)^3 + ...

Om du betraktar talföljden upp till n,
S=(8/9)^1 + (8/9)^2 + (8/9)^3 + ... + (8/9)^n

Knepet man använder för att finna summan är att multiplicera summan med faktorn (1-kvoten), här (1-(8/9)) på båda led för att inte påverka likheten.
(1-(8/9))*S=(1-(8/9)) * ((8/9)^1 + (8/9)^2 + (8/9)^3 + ... + (8/9)^n)

I högerledet gångrar du först alla termer med 1. Från detta (vilket är den ursprungliga talföljden) subtraherar du talföljden multiplicerat med kvoten (8/9). Detta kommer att höja graden på varje term med 1:
(1-(8/9))*S=
(8/9)^1 + (8/9)^2 + (8/9)^3 + ... + (8/9)^n +
- ((8/9)^2 + (8/9)^3 + ... + (8/9)^(n+1))

Är du observant ser du här att nästan alla termer i serien tar ut varandra! Endast den första kvarstår, subtraherat med den sista med förhöjd exponent.
Du har kvar att:
(1-(8/9)) * S = (8/9) - (8/9)^(n+1)
eller
S = (8/9 - (8/9)^(n+1))/(1-(8-9))

Eftersom vi undersöker serien som går mot oändligheten betraktar vi då S när n går mot oändligheten.
Då 8/9 < 1 kommer (8/9)^(n+1) gå mot 0 när n går mot oändligheten.
Kvar har vi:
S = (8/9)/(1-(8/9)) = (8/9)/(1/9) = 8

Detta är "knepet" man alltid använder vid lösning av geometriska summor. Man gångrar med (1-kvoten) för att förkorta bort alla termer utom 2.

EDIT: Hann visst inte riktigt. Nåja, det kanske hjälpte något, åtminstone.

Tack, båda!

Om vi tar en serie som inte är geometrisk, då?

Σ från k=1 till ∞ (1 / ((2k+1)(2k-1)))

Hur hanskas vi med detta?
Är det rätt att om vi vill beräkna summan så betraktar vi

Σ från k=1 till n (1 / ((2k+1)(2k-1)))

där den n:te termen är 1 / ((2n-1)(2n+1)) och sen låter n -> ∞?

Partialbråksuppdela så att du får 1/((2k + 1)(2k - 1)) = 1/(4k - 2) - 1/(4k + 2). Om du utvecklar detta i en serie från k: 1 → n får du:

1/2 - 1/6 + 1/6 - 1/10 + 1/10 - 1/14 + 1/14 - 1/18 + ... + 1/(4n - 2) - 1/(4n + 2)

Du inser lätt att vi har kvar 1/2 - 1/(4n + 2) som → 1/2 när n → ∞.

∞
Σ 1/((2k + 1)(2k - 1)) = 1/2
k = 1