Sannolikhet på patiens "1,2,3"

Hej! Det är en patiens jag brukar lägga ibland då jag är väldigt uttråkad som jag undrar hur stor sannolikheten är att den går ut. Var inte så kung I sannolikhetslära I plugget, så jag lämnar över det till er!

Man använder en vanlig kortlek med 52 kort.
Man lägger ut ett kort åt gången I en hög, samtidigt som man räknar 1,2,3,1,2,3,1,2,3 osv.
Man förlorar patiensen så fort ett ess kommer då man säger "ett", en tvåa då man säger "två", eller en trea när man säger "tre".
Som ni förstår är den väldigt svår att få ut, men hur svår?
Hoppas jag förklarade ordentligt.
Mvh Korg

Notera att patiensen går ut om och endast om

(1) inget ess ligger på position 1, 4, 7, ..., eller 52 i kortleken
(2) ingen tvåa ligger på position 2, 5, 8, ..., eller 50 i kortleken
(3) ingen trea ligger på position 3, 6, 9, ..., eller 51 i kortleken.

Låt A = korten på position 1, 4, 7, ..., 52,
B = korten på position 2, 5, ... 50, och
C = korten på position 3, 6, ..., 51.

Av totalt 52! olika möjliga ordningar på kortleken söker vi nu antalet ordningar så att

(1) inget ess hamnar i A
(2) ingen tvåa hamnar i B
(3) ingen trea hamnar i C.

För att räkna ut detta, låt oss dela upp i fall beroende på hur många av essen, tvåorna och treorna som hamnar i var och en av de tre grupperna. Låt oss beteckna fallet där

k ess hamnar i B, 4-k stycken i C;
l tvåor hamnar i A, 4-l stycken i C; och
m treor hamnar i A, 4-m stycken i B med

(k,l,m)

De gynnsamma utfallen kan då delas upp i 125 grupper (var och ett av k, l, m kan vara 0,1,2,3 eller 4, oberoende av varandra.)

Nu när vi har delat upp i grupper kan vi räkna ut hur många ordningar av kortleken som hamnar i varje grupp; detta ges av att antalet ordning i gruppen (k, l, m) ges av

(18 över l) * (18 - l över m) (antalet sätt att välja var man ska placera ut tvåor och treor i A)
* (17 över k) * (17 - l över 4-m) (antalet sätt att välja var man ska placera ut ess och treor i B)
* (17 över 4-k) * (17 - l över 4-l) (antalet sätt att välja var man ska placera ut ess och tvåor i C)
* 4! * 4! * 4! (antalet sätt att välja ordningar på essen, tvåorna och treorna)
* 40! (antalet sätt att välja ordningar på övriga kort)

Svaret ges då av att summera detta uttryck när k, l, m går från 0 till 4, (för att få totala antalet gynnsamma utfall) och sedan dividera med 52!. Om man gör detta (på en dator) får man svaret att sannolikheten är ca 8,2 promille.

(Mycket lättare är det om man bara söker ett närmevärde, är att se det som att varje enskilt kort som är ess, två, tre måste landa utanför A, B resp. C; för varje enskilt kort sker detta med sannolikhet ca 2/3, och till en första approximation kan man se händelserna som oberoende. Då fås sannolikheten att patiensen går ut som (2/3)^12, vilket ger ca 7,7 promille, och detta är alltså inte ett så tokigt närmevärde.)

Tack för en väldigt bra förklarad uträkning! Att det var så liten chans visste jag inte. Har klarat patiensen fem gånger under mitt liv, och många hårtussar har slitits från mitt huvud. Dessa siffror gör att det känns mycket bättre eftersom jag tror jag ligger före statistiken

Jag har en frågan angående det här problemet. Jag försökte mig på en enkel simulering av detta i excel.

Först så placerade jag ut alla 52 kort i en kolumn A,2,3...K osv. I kolumnen bredvid så slumpas ett tal mellan 1-10000 så att varje kort får ett slumpat värde. Tabellen sorteras efter denna tabell så att samtliga kort får en slumpartad ordning.

I nästa kolumn så finns en formel som kollar om det första kortet är ett ess, nästa en tvåa o.s.v Denna formel genererar en etta om man "förlorar".
ex.
Är summan i kolumnen där "rättningen" sker större än 0 så har man misslyckats.

Ett makro loopar detta i x antal försök.

Resultat:
Varje gång jag kör så går vinstchansen mot 0.05, altså 5%. Jag har gjort flera tusen loopar och resultatet blir samma varje gång.

Vad är det jag gör fel i detta?

Edit. Holy crap, i skrivande stund så hittade jag felet. Formeln var:
Så klart så ska den vara;

Ska göra 10000 simuleringar och återkommer med ett resultat.