gränsvärden

hejsan, jag har haft lite svårt med den här uppgiften. Kan någon stegvis berätta hur jag ska gå tilllväga med tänkandet?

Uppgift : "När man i optiken analyserar diffraktion i så kallad gitter med N spalter uppkommer uttrycket
( sin(Nx) / sin x)^2. En fysikbok påstår att detta är lika med N^2 för alla x som gör nämnaren till 0. Naturligtvis menar man inte att man kan sätta in 0 i nämnaren, utan man vill säga att
( sin(Nx) / sin x)^2 ---> N^2, när x ---> kPI, för varje heltal k.

Hur inser man det?"

Att det gäller då x -> 0 är i det närmaste trivialt:
sin(Nx) / sin(x) = N (sin(Nx)/(Nx)) / (sin(x)/x) = N (sin(Nx)/(Nx)) / (sin(x)/x)
-> N * 1 / 1 = N
Följdaktligen: (sin(Nx) / sin(x))^2 -> N^2

Nu sätter vi x = t + k pi och låter t gå mot 0:
sin(N(t + k pi)) / sin(t + k pi) = sin(Nt + kN pi) / sin(t + k pi) = { sin(u + n pi) = (-1)^n sin(u) }
= ((-1)^(kN) sin(Nt)) / ((-1)^k sin(t)) = (-1)^(kN-k) sin(Nt) / sin(t) -> (-1)^(kN-k) * N
Kvadrerat: (sin(N(t + k pi)) / sin(t + k pi))^2 = ((-1)^(kN-k) * N)^2 = N^2

Tack