Hjälp med derivering

Derivera följande funktion:

ln( x + (1+x^2)^(1/2))

Tackar så ödmjukast på förhand!

f(x) = sqrt(1+x^2)
f'(x) = 1/(2*sqrt(1+x^2)) * 2x = x/sqrt(1+x^2) = x/f(x)

g(x) = x+f(x)
g'(x) = 1 + f'(x) = 1 + x/f(x)

h(x) = ln(g(x))

h'(x) = 1/g(x) * g'(x) =
= 1/(x+f(x)) * (1+(x/f(x)))

Efter några förkortningar och omskrivningar ser vi att h'(x) = 1/f(x) = 1/(1+x^2)^(1/2)

Sätt f(x) = ln( x + (1+x^2)^(1/2)).

Sätt sedan
u(v) = ln(v),
w(z) = z^(1/2),
z(x) = 1+x^2,
v(x) = x + w(z(x))
så att
f(x) = u(v(x))

Vi har
du/dv = 1/v,
dw/dz = (1/2) z^(-1/2) = 1/(2 z^(1/2)),
dz/dx = 2x,
dw/dx = (1/2)(1+x^2)^(-1/2) * 2x = x/(1+x^2)^(1/2)
dv/dx = 1 + dw/dz * dz/dx = 1 + 1/(2 z^(1/2)) * 2x = 1 + x/z^(1/2)

Detta ger
df/dx = du/dv * dv/dx = 1/v * (1 + x/z^(1/2)) = 1/(x + w(z(x))) * (1 + x/z^(1/2))
= 1/(x + (1+x^2)^(1/2)) * (1 + x/(1+x^2)^(1/2))
= (1 + x/(1+x^2)^(1/2)) / (x + (1+x^2)^(1/2))

Förlängning med (1+x^2)^(1/2) får bort de inre divisionerna:
df/dx = ((1+x^2)^(1/2) + x) / ( (1+x^2)^(1/2) (x + (1+x^2)^(1/2)) )

Här kan vi förkorta bort (1+x^2)^(1/2) + x, varefter vi endast får kvar
df/dx = 1/(1+x^2)^(1/2)

Vackert!

Tackar som fanken!