Eliminationer matriser (enkel uppg)

Bestäm värdet/värdena på h så att matrisen är den utökade matrisen för ett consistent (står det i boken, antar att dom menar homogent?) linjärt ekvationsistem.

1 h 4

3 6 8


Hur exakt tänker jag här?

Hur har du skrivit matrisen? Är det två variabler? Är det bara koefficientmatrisen som är 1 h och 3 6? Är 4 och 8 högerledet?

Du får vara lite mer tydlig. När det är homogent så är högerleder lika med noll och då finns det alltid minst en unik lösning, origo lr (nollvektorn).

Ok, ber om ursäkt. När jag skrev det så gjorde jag ett större mellanrum mellan höger och vänsterled. 4 och 8 är alltså högerledet.

Har du lust att göra beräkningen lite snabbt?

Tack!

1 h 4
3 6 8

Om det är den sammansatta matrisen så behöver du bara ta reda på determinaten till

1 h
3 6

dvs koefficientmatrisen och använda huvudsatsen.

determinanten är 6-3h och när den är nollskild är ekvationssystemet konsistent för varje b.

Annars kan du inse att det är samma ekvation i båda rader om du sätter h=2. Då är den undre en multipel av den övre eller tvärtom.

Som chris69 säger och: Man kan alltid avgöra om determinanten är noll när minst en rad eller kolonnvektor har samma riktning, eftersom det innebär linjärt beroende mellan de två. Eftersom det också är en determinant av ordning 2 kan h endast vara av grad ett, vilket innebär att determinanten endast är noll om och endast om h antar 2.

Lite kuriosa:
Geometrisk tolkning av determinanten i ℝ² är att kolonn/radvektorerna spänner upp ett parallellogram och absolutbeloppet av determinanten är arean av parallellogrammet de vektorerna spänner upp. Om man nyttjar matrisen som en linjär avbildning kan man med hjälp av determinanten se om den linjära avbildningen är orienteringsbevarande eller ej och hur stor areaförändringen är. Analogt med hur fallet är i ℝ³ fast volymförändring istället.

Fint, har inte en enda följdfråga på dom svaren! Tack ska ni ha!