Vektorrum uppgift.

Sitter stenhårt fast på en uppgift i linjär algebra.

Låt A = (1 0) och B = (2 1)
--------(0 -1)----------(-4 0)

(a) Visa att matriserna A^2, B^2, AB och BA utgör en bas för vektorrummet M22 av 2 x 2 matriser
(b) Uttryck matriserna B och (A + B)^2 i basen {A^2, B^2, AB, BA}.

Någon som har någon hint. Vet att baserna måste vara linjärt oberoende för att utgöra en bas, kan enkelt kolla med determinant, men fattar inte vad dom menar med vektorrummet m22 av 2 x 2 matriser. Någon som kan ge lite tips?

Mängden av 2x2-matriser utgör ett linjärt rum: sådana matriser kan adderas och multipliceras med skalärer.

För att visa att { A^2, B^2, AB, BA } utgör en bas för detta linjära rum skall du alltså visa att dessa fyra matriser är linjärt oberoende och att varje 2x2-matris kan uttryckas som en linjärkombination av dessa matriser.

Tro det eller ej, men den enklaste deluppgiften är att uttrycka (A + B)^2 i den här basen.

kan du förklara lite mer ingående? känner mig som en idiot... Det här med linjär algebra är inte min grej.

Är varje 2x2 matris en vektor med 4 riktningar? dvs en X led riktning en Y led riktning osv osv?

Förstår att man kan göra A^2 B^2 AB och BA som en 4x4 matris och kolla om determinanten är skild från 0 för att se om dessa är linjärt beroende eller inte. Men sen då?

Korrekt uppfattat.


Fel. Du skall inte kontrollera om raderna (eller kolumnerna) i var och en av matriserna är linjärt oberoende. Vad du skall kolla är om de fyra matriserna tillsammans är linjärt oberoende i rummet av 2x2-matriser, dvs om x A^2 + y B^2 + z AB + w BA = 0 endast då x = y = z = w = 0.

(b) Uttryck matriserna B och (A + B)^2 i basen {A^2, B^2, AB, BA}.

Hur uttrycker man detta? Tacksam för lösning.

(A + B)^2 är närmast trivial att uttrycka i den aktuella basen. Kan du komma på hur?

För att uttrycka B undrar jag om det är samma A och B som i första inlägget i tråden.

Det är från första inlägget. Förstår inte riktigt hur du menar med ''närmast trivial''. Ursäkta mina dåliga matematik-kunskaper.

Vi har (nedan står ; för ny rad i matriserna):
A^2 = (1 0; 0 1)
B^2 = (0 2; -8 -4)
AB = (2 1; 4 0)
BA = (2 -1; -4 0)

Vi söker en linjärkombination x A^2 + y B^2 + z AB + w BA = B, vilket när vi delar upp det i komponenter ger ekvationssystemet
x + 2z + 2w = 2
2y + z - w = 1
-8y + 4z - 4z = -4
x - 4y = 0
Lös detta. Du kan sedan skriva ut B som en linjärkombination av A^2, B^2, AB och BA.

Du kan göra samma sak för uttrycket (A + B)^2. Men det jag ser är att om vi utvecklar denna kvadrat av en parentes får vi A^2 + AB + BA + B^2, och vi får direkt ut linjärkombinationen.

Det är väl det han menar, då han talar om en 4x4-matris konstruerad av de fyra 2x2-matriserna. Alltså att det([vec(A^2) vec(B^2) vec(AB) vec(BA)]) \neq 0.

Ah, du har nog rätt... Missade att han skrev 4x4.