Fråga om oändligheten

Det finns oändligt många heltal, och det finns också oändligt många decimaltal. Men det finns fler decimaltal än heltal. Jag undrar hur det går ihop.

Finns det olika slags oändligheter? Kan en oändlighet vara större än en annan oändlighet?

Jag är inte jätteinsatt; men det brukar väl sägas att det finns olika "storlekar" på oändligheten. Jag tror däremot inte det har någonting gemensamt med vad vi vanligtvis menar med storlek. Problemet är att vi tänker oss allting i antal. Oändligheten är inget antal.

Från wikipedias "Cardinality of the continuum":

Antalet reella tal r = 2^n där n är antalet naturliga tal (positiva heltal)

Ja, det finns olika stora oändligheter när vi talar om "antal", eller kardinalitet som matematikerna kallar det (åtminstone när vi kommer upp i oändliga antal).

http://sv.wikipedia.org/wiki/Kardinalitet
http://sv.wikipedia.org/wiki/Kardinaltal

Är samma sak med primtal. Finns fler vanliga tal än det finns primtal, men ändå finns det lika många av dem.

Oändligheten är en vandrande paradox!

Om man tar ett slumpat tal från reella talen mellan 0 och n där n->inf så är det 0 sannolikhet att det blir ett heltal - inte omöjligt men det kommer almost surely inte inträffa. Det är dessutom ännu mindre sannolikhet att det blir ett primtal - samtidigt som det är precis lika osannolikt. Finns det olika "storlekar" på 'sannolikhet 0' också?

Om man tar ett slumptal från heltalen; vad är då sannolikheten att det blir ett primtal?

Det är svårt att föreställa sig att man kan slumpa fram ett tal ur Z, eftersom det finns oändligt många. För att beräkna sannolikheten för ett givet utfall tar man ju vanligtvis hjälp av den stokastiska variabelns fördelningsfunktion, och det är svårt att föreställa sig hur den skulle se ut i det här fallet.

Ja jo, oändligheter är ett mörker. Det känns alltid problematiskt att försöka föreställa sig något om dem. Är det möjligt matematiskt? Det är ju exempelvis 1/2 att vi får ett udda tal - bör vara åtminstone.

Om t.ex. sann slump existerar - så som kvantmekaniken pekar på - bör detta vara likvärdigt med att ta slumpvärden ur en oändlig mängd? Det är enda sättet jag kan se sann slump uppstå alltså; om mängden som utfallet kommer från är oändlig. Det kanske är intuitionen som sätter käppar i hjulet här med i och för sig.

För det första anser jag inte att oändligheter av det första slaget 'finns'. Man kan ju inte räkna upp dem alla. Men det finns andra oändligheter av olika slag i matematiken som kan ha en fysisk motsvarighet, geometriska objekt t ex.