Galileos rullande kula. Beräkna tiden.

Galileo ställde först upp experimentet. En rak bana och en böjd bana. Två kulor släpps och når botten så småningom. Enligt en snubbe jag träffade ska dom nå botten samtidigt.

Att beräkna tiden det tar för kulan längs raka banan var väldigt enkelt. För den böjda banan var det svårare.

Så uppgiften lyder:


Beräkna tiden det tar för en kula i vakuum att åka ner för en bana som ser ut som en fjärdedels cirkel med radien R=1 m.

Jag valde R=1 m för enkelhetens skull.

Jag har försökt i 3 dagar nu utan att lyckas. Problemet, tycker jag, är att kraften som ger kulan fart inte är konstant, utan beror av kulans läge i banan.
Hur jag än gör blir det svårlösta differentialekvationer av det hela, känns som att det borde vara mycket lättare.

Någon som har gjort en sån uppgift förr? Eller vet hur man gör?

Snubben har fel. Det tar olika lång tid längs de olika banorna om kulan rullar/glider längsbanorna. För kulor som faller fritt (rakt ned eller i en kastparabel) tar dock färden lika lång tid.

Det blir en svårlöst diffekvation hur du än gör, det hör till sakens natur.

I denna tråd;
https://www.flashback.org/showthread.php?t=1057005

har evolute härlett ekvationen till att vara;

(7/5)m(R-r)²(d²θ/dt²) + (R-r)mgsin(θ) = 0,

r= kulans radie.

R=1 i ditt fall.

Du har begynnelsevärden

θ(0)=pi/2

θ'(0)=0

Du skall alltså beräkna tiden numeriskt. Vad är tiden t då θ=0 är frågan.

Du måste räkna med tröghetsmoment också i bägge fallen.

För övrigt så blir sträckan för den raka banan (R-r)sqrt(2).