Tal ang. acceleration och ljusets hastighet

Hej kära FB,

har ett knarkigt tal som lyder: Antag att en rymdsond skall färdas ifrån sirius till jorden (8,6 ljusår). Antag att den efter 100 års acceleration har uppnåt 1% av ljusets hastighet, efter 200 år 2% osv. Om man även räknar med det att sondens tid förflyter långsammare ju snabbare den färdas. Hur lång tid tar resan, och vilken hastighet hinner den uppnå?

Har googlat till mig okunskap och inte kommit nånstans i ämnet. Hjälp mig förfan

Enligt uppgift skall vi anta att v = t/10000 (enhet: ljusår/år), där t är tiden i år mätt i Sirius-jordens referenssystem (som vi ju betraktar som stilla).

Den tillryggalagda sträckan kommer då vara s = t²/20000 (enhet: ljusår).

Resan kommer att ta t = √(20000 * 8,6) = 414,7 år, enligt Sirius-jordens referenssystem.

Hastigheten hinner bli v = 414,7 / 10000 = 0,0414 ljusår/år, dvs 41,4% av ljusets hastighet.

När det i Sirius-jordens referenssystem förflyter tiden dt, förflyter i sondens referenssystem tiden dt' = dt √(1-v²/c²), vilket gör att den totala tiden enligt sondens referenssystem blir
t' = ∫ dt √(1-v²/c²) = ∫ dt √(1-(t/10000)²) år,
där integralen tas från t = 0 till t = 414,7.

Enligt Wolfram Alpha blir detta 414,6 år, dvs marginellt kortare tid.

För det första borde man kunna räkna klassiskt på detta till ganska hög noggrannhet. Med den givna accelerationen (antag konstant) a0 = 0.01c/(100 år) blir tiden

t = √(2s/a0) = √(2*8.6*c*år/(0.01c/(100 år)) ≈ 415 år

och sluthastigheten blir

v = a0t ≈ 0.01c/(100 år)*(415 år) ≈ 0.04c,

alltså 4 % av ljushastigheten. De relativistiska effekterna bör därför vara små men man kan ju roa sig med en relativistiska beräkning ändå.

Enligt vem accelererar farkosten konstant, enligt en observatör på rymdsonden eller en observatör som är stilla relativt vårt solsystem? En konstant acceleration för en observatör på sonden känns mer realistisk då det är "motorerna" på sonden som gör arbetet men jag kan ha fel. Antag alltså att det är på rymdsonden som man upplever denna konstanta acceleration a0 = 0.01c/(100 år).

Betrakta nu ett koordinatsystem som är stilla i solsystemet S, och ett som vid en given tidpunkt rör sig med samma hastighet v som rymdsonden S'. Hastigheten på rymdsonden relativt S' är u' = 0. Hastigheten på rymdsonden relativt S är lika stor som hastigheten på S' relativt S, u = v.

Man kan visa att relationen mellan accelerationen i de båda systemen är

a'γ³(1 - uv/c²)³ = a

och med u = v och γ = √(1 - v²/c²) fås

a = a'(1 - u²/c²)^(3/2).

Vi vet som sagt att a' = a0 och a = du/dt så vi har nu en differentialekvation

du/dt = a0(1 - u²/c²)^(3/2) (u(0) = 0)

som har lösningen

u(t) = a0t/√(1 + a0²t²/c²)

och integrerar vi en gång till med begynnelsevillkoret x(0) = 0 fås

x = c²/a0(√(1 + a0²t²/c²) - 1).

Nu vet man alltså hur långt farkosten färdas som funktion av tid i S-systemet. Den så kallade egentiden (tiden som upplves för en observatör på sonden) som ofta betecknas med τ är i detta fall lika med tiden i S'-systemet under en kort tidsrymd (då S' kan sägas vara icke-accelererande). Alltså har man dτ = dt' och egentidens beroende på tiden i S-system kan skrivas

dτ/dt = dt'/dt = {tidsdilationsformeln} = 1/γ = {enligt ovan} = 1/√(1 + a0²t²/c²)

vilket ger en differentialekvation för egentiden. Integrerar man med τ(0) = 0 fås

t = (c/a0)sinh(a0τ/c)

vilket vi kan sätt in i formeln för avståndet så att man får

x = c²/a0(cosh(a0τ/c) - 1).

Man kan nu räkna ut tiden det tar i båda systemen. Med x = 8.6 ljusår fås

t ≈ 415 år (414.8180 år)
τ ≈ 415 år (414.6991 år).
u ≈ 0.04c.

Som väntat är de nästan identiska med de tider som vi fick i den enklare klassiska beräkningen.

EDIT: mannes enklare relativistiska beräkning gäller om accelerationen är konstant i S-systemet.

Och det framgår inte något annat ur uppgiften.

Det framgår inget alls i uppgiften; "efter 100 års acceleration...", efter 100 år enligt vem?