n:te roten, komplexa tal: bevis

Hej.

I min lärobok visar de rötterna till den komplexa ekv. w^n = z, där n är ett positivt heltal och w,z tillhör C.

Här är beviset.

Bild 1: http://i.imgur.com/Cubq2YD.jpg

Bild 2: http://i.imgur.com/6F1UOWQ.jpg

w är alltså ett komplext tal som uppfyller w^n = z.

Detta skriver de sedan på polär form och får: w = s(cosΦ+isinΦ)

Och det är i detta steg jag är ifrågasättande: Varför kan de anta att w har entydig lösning här (om man inte tar hänsyn till perioden)? Skriven på den polära formen så finns ju bara en lösning!

Sedan får de fram fler lösningar, men hur kan man vara säker på att ännu fler lösningar inte existerar ty man utgick från s(cosΦ+isinΦ), som bara kan ha en lösning? Kanske motsäger mig själv ibland här det vet jag inte men detta är iaf min fundering.

Vad menar du? w = s(cosΦ+isinΦ) är ju en likhet?

Herregud, det var dumt av mig. Jag hade fått för mig att w^z = s(cosΦ+isinΦ) av någon dum anledning... Tack.

Jag tycker det är enklast att räkna på exponentialformen. Glöm inte perioden n*i*2Pi så faller alla rötterna ut.