Runge-Kutta och andra enstegsmetoders förutsättningar

Hejsan,

Pluggar inför en tenta i beräkningsmatematik och har en fråga angående enstegsmetoder som numeriskt approximerar lösningar till O.D.E.

Så en fråga på tentan (7c, svar) är:

"En differentialekvation har lösts flera gånger med Runge-Kuttas metod. [...] c: Hur bör ekvationen väljas för att experimentet ska vara rättvisande?"

SVAR: "Differentialekvationen bör ha en minst fyra gånger kontinuerligt deriverbar lösning".

Hur kommer det sig? Jag vet att det har någonting med trunkeringsfelet att göra, som är O(h^4) för Runge-Kutta. Varför kan inte funktionen bara vara 3 ggr kontinuerligt deriverbar? Den numeriska metoden är ju som newton, eller heuns, bara fler mellansteg?

Vad kan man dra för slutsats om diff.ekv. bara är en gång, två gånger, eller tre gånger kont. deriverbar?

Kanske lite oklart men det är det för mig med...

Nu är jag ingen RK expert men jag gissar på att man använder upp till 4a derivator i tidsteget "i" för att beskriva lösningen i tidsteg "i + 1" sen har jag bara sett att trunkeringsgraden och ordningen av felet brukar vara samma. Jag spekulerar dock endast.

Den "klassiska" runge kutta metoden vi använt verkar typ kolla derivatan i 4 punkter mellan xi och xi+1 och sen ta ett medelvärde. Alltså man använder bara diffekv som den är utan att derivera. Dvs den verkar samma som newton bara att den är ett slags medelvärde.