Leibniz/Newtons notation

I vilka sammanhang används Newton och Leibniz notationer? Har för mig att i klassisk mekanik användes Newtons notation för derivering, med prickarna ovanför funktionen.
I skolmatten används ju f-prim. Har inte använt mig särskilt mycket av dy/dx vet inte direkt hur man ska skriva på den formen.

Leibniz notation är ganska smidig då det är ganska lätt att åskådliggöra kedjeregeln då

y = f(g(x))

dy/dx = dy/dg * dg/dx

Inom mekaniken så betecknas en tidsderivata d/dt med hjälp av Newtons notation.
Vi hade en skånsk mekanikföreläsare, man blev lite less på ordet "prick" efter ett tag

dy/dx är visuellt snygg när man integrerar (variabelbyte) eller löser diffekvationer (separabla).

I en calculus bok jag lånat står det att "Derivatives and differentials are not the same..."

ex.

Derivata: d(u + v)/dx = du/dx + dv/dx

Differential: d(u + v) = du + dv

Vad användes differentialer till?

Till att börja med kan vi ju notera att differentiate betyder derivera och derive betyder härleda.

Men allt med dn i är differentialer, derivata är bara kvoten mellan två differentialer.

Ja, men att derive betyder härleda har inget med saken att göra då derivative betyder derivata.

Något jag undrar är vad skillnaden mellan infinitesimaler och differentialer är??

Som jag har uppfattat det så är det ungefär samma sak, men infinitesimal är ett mindre formellt och mer ålderdomligt uttryck.

Kanske kan man också säga att infinitesimal är lite bredare.

Exempelvis f(x+h)-f(x) är både en infinitesimal och en differential då h "är nära 0".
h i sig är inte en differential men en infinitesimal.

Någon annan som har synpunkter? Är jag inne på rätt spår?

Kan citera ur min calculus bok:

[qutoe]
Definition Differentials:

Let y = f(x) be a differentiable function of the independent varibale x.

Δx is an arbitrary increment in the independent variable x.

dx, called the differential of the independent variable x, is equal to Δx.

Δy is the actual change in the variable y as x changes from x to (x + Δx); that is Δy = f(x + Δx) - f(x).

dy, called the differential of the dependent variable y, is defined by dy = f´(x)dx.
[/end quote]