Algebraiska frågor

Startar en tråd om frågor som rör enkla algebraiska utryck.

MIn fråga är: a*az, är det samma sak som a^2*z eller som 2az?

.

'tack

Det första.

Ifall någon har ork så kan ni hjälpa mig med det stora hela, ska nämligen undersöka detta ekv. system och se när det har lösning, oändligt många lösningar och ingen lösning.

x-y+az=1
2x-y+z=-1
ax+y-z=1

Jag fastnar varje gång när det blir för mycket algebra...

kan jag skriva om:

3a^2z-3az=0 till a=0

Jag tänker att om man tar bort 3az från 3a^2z så blir där ju ett a kvar, stämmer detta?

Nej.

3a²z-3az = 3a(az -1) = 0 = a(az-1)

Varför försvinner trean helt plötsligt`?

Dividera båda sidor med 3.

Jag tycker inte att det är särskilt snyggt att skriva så. Mer normalt är att dela upp det i två separata ekvationer:
3a(az -1) = 0
a(az -1) = 0

Men eftersom 3a(az -1) och a(az -1) har samma värde (nämligen värdet 0), kan man skriva 3a(az -1) = 0 = a(az -1), eller t.o.m. 3a(az -1) = a(az -1).

Kan göra ett försök.
Först använder vi gauss elimination och skaffar oss nollor i början av rad 1 och 2. Sen även en nolla i rad3 kol2 och rad1 kol2 .
Vi har nu ekvationssystemet
x+z(1-a) = -2
y+z(1-2a)=-3
z(a²+a-2)=4+2a
Här kan vi läsa från rad 3 att z(a²+a-2) = 4+2a <=> z(a-1)(a+2) = 2(a+2)
Om a=1 får vi 0 = 2*3 vilket ej är sant, alltså har vi inga lösningar för a = 1.
Om a=-2 så fås z*0=0 alltså kan z vara vad som helst viklet ger att vi får ett oändligt antal lösningar.

Vi kollar nu när a≠1 och a≠-2. Då kan vi dividera z(a-1)(a+2) = 2(a+2) med a+2 på båda sidor z(a-1)=2 <=> z=2/(a-1) stoppar vi nu in det i första och andra ekvationen så fås ekv.sys.
x-2=-2 <=> x = 0
y+2(1-2a)/(a-1)=-3 <=> y = 1+2/(a-1)
z=2(a-1)
Vilket bara ger en lösn. för olika a.
Alltså svar: a=1 inga lösningar, a=-2 oändligt antal lösningar och a skiljt från både 1 och -2 en lösning.

Någon får gärna rätta mig om jag gjort fel.

Gausseliminering av

1, -1, a, 1
2, -1, 1, -1
a, 1, -1, 1

ger

1, 0, 0, 0
0, 1, 0, 2/(a-1)+1
0, 0, 1, 2/(a-1)

Om ovanstående gäller, är x=0, y=2/(a-1)+1 och z=2/(a-1). Systemet har en lösning ifall a är skilt från 1. Jag inser att TS kanske inte förstår mitt inlägg. Mitt svar till TS är att öva på Gausseliminering, i alla fall kunna Gausseliminering + återsubstitution. Förutom skalär- och vektorprodukterna, samt projicering, och deras respektive geometriska tolkning, är Gausseliminering den viktigaste tekniken, eftersom den ingår i allt från att hitta egenvärden till att invertera matriser till att hitta rang av matriser eller baser i vektorrummet.