Linjärkombination

Vad fan är de? Jag har suttit nu i 8 timmar och försökt mig på denna linjära algebran, men skiten är inte ens logisk. Jag älskar logik men matematik är allt annat än logiskt imo...

till problemet, saken är den att jag ska kolla om vissa vektorer är linjärt beroende eller ej. Enligt boken ska jag tydligen SE I MITT FUCKING HUVUD att v1=(0,2,0), v2=(-1,0,0) och v3=(0,0,1) är linjärt oberoende för att ingen av vektorerna är en linjärkombination av de övriga.

Jag var fast besluten igår att hoppa av denna linjen, för att jag ej förstår. Dock rekomenderade folket i A&S att jag skulle försöka här, så jag gör de... hoppas vi någon snäll backare kan visa.

Uppgiften som jag sitter med nu: Visa att vektorerna: a) (4,1,-5) b) (4,3,2)
c) (-9,-7,-3) är en linjärkombination av u1=(2,1,-1) och u2=(1,1,1)

I det här fallet är det (kommer att bli) lätt att se att de är linjärt oberoende.

En linjärkombination av v1 och v2 har formen v1*s+v2*t = (0,2,0)*s +(-1,0,0)*t = (0*s,2*s,0*s) + (-1*t,0*t,0*t) = (0,2s,0) + (-t,0,0) = (-t,2s,0) där s och t är vilka två reella tal som helst.

Oberoende av vilka s och t du väljer kommer tredje positionen i vektorn alltid att innehålla en nolla, men v3 = (0,0,1) har en etta på tredje positionen, och två vektorer är lika endast om talen på alla positioner är lika, så det finns ingen linjärkombination av v1 och v2 som är lika med v3.

Och v2 är inte en linjärkombination av v1 och v3, och v1 inte en av v2 och v3 (skriv ut dessa själv, de fungerar på samma sätt).

Alltså är de linjärt oberoende.

Jag förstår då ingenting av vad du precis sa...

Hemskt ledsen om jag skrev otydligt. Kan du förtydliga hur långt du kom innan du stötte på något du inte sett tidigare (det finns flera olika sätt att kontrollera om vektorer är linjärt oberoende/en linjärkombination av varandra, och ni kanske börjat med något annat). Hur har ni definerat linjärkombination?

Vår lektor har ej sagt ett dyft om linjärkombination. För att kolla om en vektor är linjärt beroende eller linjärt oberoende så använder vi lambda metoden som han kallade det. t.ex om jag ska kolla om u1=(2,5) och u2=(3,6) är linjärt beroende eller ej så skriver jag upp detta såhär:

lambda1(2,5)+lambda2(3,6)=0 (jag kommer förkorta lambda 1 och 2 med L1 och L2)

(2L1 , 5L1) + (3L2 , 6L2) = (0,0)

Sedan skriver vi upp detta i ett ekvationssystem och löser detta mha gauselimination och får i detta fall L1=0 och L2=0, båda är noll då är det linjärt oberoende.

EDIT: Jag fastnade på när du sätter konstanter framför koordinaterna, s och t. Varför gör man nu de? Jag har som sagt inte ens hört talas om detta med linjärt beroende eller ej...

Hemskt ledsen att jag rört till det. "Lambda-metoden" är bättre för att se om två vektorer är linjärt oberoende (om man vill se att de är linjärt oberoende genom att kolla om de är linjärkombinationer (lk) måste man kontrollera att v1 inte är en lk av v2 och v3, v2 inte en lk av v1 och v3, v3 inte en lk av v1 och v2 - vilket ofta är jobbigt)

En linjärkombination är en en vektor "uppbygd" av två vektorer v1 och v2. Ett antal s av v1, och ett antal t av v2.

http://i29.tinypic.com/2zghj6t.jpg

Om ingen vektor i en grupp vektorer är en linjärkombination av de andra så är de linjärt oberoende. Och i din uppgift kan du se det som att vektorerna v1 och v2 ligger i xy-planet (deras "z-kordinater" är noll), medan v3 pekar uppåt (dess "z-kordinat" är 1).

Detta förstod jag då helt och hållet, det är ju väldigt logiskt faktiskt, till skillnad från de andra röriga sakerna som står i min bok. Tack för din hjälp, men jag tror att felet ligger i mig, jag är för dum för att förstå detta :/

Det handlar som sagt om att vänja sig. Ett vanligt sätt att göra det (som kanske passar dig) är att tänka geometriskt (med koordinatsystem), och försöka skaffa sig en bild av vad det är som händer.

Avgör om vektorerna är linjärt oberoende/beroende:

V1 = (1,2), V2 = (3,4), V3 = (5,6)

Här kan jag inte använda Lambda-metoden eftersom vi kommer ha 3 okända och bara 2 ekvationer?
Jag kan inte hitta något linjärkombination men enligt facit så är vektorerna beroende, hur tar jag reda på det?

Du kan se det som att du har två oberoende vektorer V1 och V2 i R^2. Det spänner upp hela rummet och således kommer alla vektorer i R^2 kunna uttryckas med hjälp av dom vektorerna.

Alltså, har du fler vektorer än dimensionen på rummet så kommer de vara beroende.

Vill du uttrycka V3 i termer av V1 och V2 sätter du upp ekvationssystemet:

c1V1+c2V2=V3

c1+3c2=5
2c1+4c2=6

och löser för c1 och c2

Nu är jag både full och har inte läst linjär algebra, så ta detta med en nypa salt, men:

[i]n vektorer x[1], x[2], ..., x[n] är linjärt beroende omm* det finns en mängd skalärer c[1], c[2], ... c[b] som inte alla är noll, sådant att c[i]x[i] = 0† där är Einsteinsumman över indexen.

* omm utläses 'om och endast om'
† 0 utläses nollvektorn

Ett annat sätt att se på saken är att se på vad vektorerna spänner upp. Två vektorer som är kolinjära är per definition linjärt beroende och kan inte spänna upp mer än ℝ. För att spänna upp ℝ² krävs det två vektorer som inte får vara kolinjära och där med inte linjärt beroende. För att spänna upp ℝ³ krävs tre vektorer som inte får vara linjärt beroende.

Tillbaks till ursprungsfallet.

Eftersom vi har tre vektorer med två komponenter i ℝ² kan vi direkt säga att åtminstone två av vektorerna är linjärt beroende av varann eftersom det bara krävs två vektorer för att spänna upp ℝ², och eftersom ingen av vektorerna är kolinjära så är är inte två enskilda vektorer linjärt beroende utav varann, utan en tredje vektor måste vara linjärt beroende av de andra två.

Bumpar denna uråldriga tråd istället för att göra en ny.

Jag har problem med exakt samma uppgift som TS:

Visa att vektorerna:
a) (4,1,-5)
b) (4,3,2)
c) (-9,-7,-3)
är en linjärkombination av u1=(2,1,-1) och u2=(1,1,1)

Ingen som helst aning om vad som ska göras samt förstår icke förklaringarna i denna tråd, någon som kan hjälpa?

Vår föreläsare har inte gått genom linjärkombination med oss öht men vi ska ändå göra denna uppgift...