Hjälp (bla med diofantisk ekvation)

Ange antalet positiva heltalslösningar till ekvationen 17x+6y=250 där y ska vara ett udda tal. Ange också samtliga positiva heltalslösningar där y är ett udda tal.

Här har jag förstått att man ska använda hjälpekvationen
17x+6y=1

Det jag får fram är att SGD(17,6)=1

Nu måste jag alltså använda Euklides algoritm bakvänt?
Jag vet inte hur och har ärligt försökt lära mig detta genom bla wikipedia nu men ett exempel hjälper inte så mycket.

Ni får gärna byta ut talen då jag faktiskt vill lära mig eller så svarar ni på denna. Tack hursom!
---
En annan uppgift jag har problem med är hur det var man skulle tänka på en fråga som denna:
Vilket är det minsta heltal som är större än sqrt5 - 2*sqrt6

Eller så kollar du bara på talen i ekvationen och kommer på att talet 18 är en multipel av 6 och skiljer sig från 17 med 1:
17*(-1) + 6*3 = 1

Så (x, y) = (-1, 3) är en lösning.

Samtliga lösningar till 17x + 6y = 1 ges av (x, y) = (-1, 3) + k (-6, 17), där k är ett heltal.

Vi har fått lära oss så här:

17x+6y=1


17=3*6-1 ==> 1=3*6-17=-17+3*6

Då ser man att en lösning är x=-1 och y=1

Jaså, är det verkligen en lösning?

Det är ju detta jag vill lösa:
"17x+6y=250"

Jag har som sagt förstått att man ska använda hjälpekvationen:
17x+6y=1 samt "den vanliga?" 17x+6y=0

SGD(17,6)=1

17=6*2+5
6=1*5+1

Bakvänt:
1=6-5
1=6-(17-6*2)=6*3-17*1

Nu är alltså x=-17 och y=6
Dessa gånger 250 resp 750 ger 17x+6y=250 men varför :P
Edit: eller x är 250 (minus..) och y 750... jag fattar inte

Jag vet nu att svaret bör vara 42,43,44 genom en kompis men har fortfarande inte löst mer än detta.

Nej. Jämför resultatet med 1 = 17x + 6y. Då ser du att x = -1 och y = 3.


Om 17x + 6y = 1, så är 17*250x + 6*250y = 250*(17x + 6y) = 250*1 = 250.

Åh nej, haha, x=-1 och y=3... hur lyckades jag med det där :S

Hallåå!!

är det ngn som kan skriva den här? Det är typ samma tal,

"Ange antalet postitiva heltalslösningar till ekvationen 17x + 6y = 250. Ange också samtliga postitiva heltalslösningar.
Svar: Antalet postitiva heltalslösningar är; ______

(x,y) =______ (Svaret ska vara på formen t ex (1,3),(3,2), där x är i växande ordning, om det är två lösningar. Ingen mellanslag för förekomma.)"

Rätt svar är: 3 st, och dem är (2,36),(8,19),(14,2)

men hur har man fått ut det? Är det här en slags diofantisk lösning?

Med eulers baklänges & inbakade:
17=2*6+5 --> 5=17-(2*6)
16=1*5+1 --> 1=6-(5*1)

1=6-(17-2*6) totalt 3 st -6or.

totalt: -3*6+1*17 ?
x=-3
y=1

in i urspurungsekvaionen som var 17x+6y=250
-3*250= helt fel
1*250= helt fel.

Ja, det stämmer ju inte överens med de rätta talen.

Buuump!

Ekvation: 17x + 6y = 250
Normerad: 17x + 6y = 1

En partikulärlösning till den normerade ekvationen ges av (x, y) = (-1, 3).
En partikulärlösning till ursprungsekvationen ges av (x, y) = (-250, 750).

Samtliga lösningar till ursprungsekvationen ges av (x, y) = (-250 + 6n, 750 - 17n).

De positiva lösningarna uppfyller:
0 < -250 + 6n, dvs n > 250/6 = 41,66..., dvs n ≥ 42,
0 < 750 - 17n, dvs n < 750/17 = 44,12..., dvs n ≤ 44.

De positiva lösningarna blir alltså
(x, y) = (-250 + 6*42, 750 - 17*42) = (2, 36)
(x, y) = (-250 + 6*43, 750 - 17*43) = (8, 19)
(x, y) = (-250 + 6*44, 750 - 17*44) = (14, 2)

En partikulärlösning till den normerade ekvationen ges av (x, y) = (-1, 3).


Hur får du det till -1 & 3? Kan de inte "lika gärna bli" 1 & -3? Eftersom 17x+6y=1 hehe