integrerande faktorn

kan detta lösas med den integrerande faktorn.

x' = x + ƒ(t) + g(t).

Det borde vara rätt att göra så här; x'-x=ƒ(t)+g(t)=ß(t) eller?

x' = x + ƒ(t) + g(t)

<=>

x' - x = h(t), där h(t) = ƒ(t) + g(t)

Sätt: koefficienten för x är m(t), i detta fall m=-1. Särdeles lätt.

Då är integrerande faktor = e^(∫m(t)dt) = e^(-t).


Multiplicera båda led med e^(-t):

x'e^(-t) - xe^(-t) = h(t)e^(-t)


VL är derivatan av (x(t)e^(-t)), vilket s.a.s. är själva poängen med integrerande faktorn. Alltså:

x'e^(-t) - xe^(-t) = d/dt[x(t)e^(-t)] = h(t)e^(-t) =>

=> x(t)e^(-t) = ∫[h(t)e^(-t)]dt + C=>

=> x(t) = e^t*∫[h(t)e^(-t)]dt + Ce^t



Och så sätt in h(t) = ƒ(t) + g(t):

x(t) = e^t*∫[(ƒ(t) + g(t))e^(-t)]dt + Ce^t

Verifieras genom derivering och insättning. Men det får du fanimej göra själv!




Med allmänt m(t) fås den gamla hederliga allmänna linjära 1:a ordningens ekvation.

Se H.Gask "Ordinära differentialekvationer"

jo tack för din tid, det går och jag löste den på samma sätt.

Vilken matte kurs är det här om jag får fråga

tog en fråga från slutet av Calculusboken av Adams.