En databasserver är precis vad det låter som. Det är en server för databaser
Dessutom medger en databasserver lite mer avancerade saker än vad en filbaserad mojäng (till exempel en accessdatabas) gör. Som någon påpekade är ju en server för det mesta multi-user, där varje användare har sitt eget användarnamn och lösenord, dessutom har databasservrar normalt sett stöd för klustring( dvs ha samma serverinstans på flera fysiska maskiner=lastbalansering), loggning av SQL-frågor som körs etc.
För övrigt som nån även påpekade är MySQL en databasserver som det går, under förutsättning att man har rättigheter att göra det, att skapa databaser i.