Polynomdivision

Hur ska man tänka för att finna att resten är 1 - x om polynomet x^100 + x^67 - x^32 - 2x^9 +1 divideras med x^2 -x? Man vet förresten att polynomet är jämnt delbart med (x-1) <=> p(1) = 0 enligt faktorsatsen.

Låt p(x) = x^100 + x^67 - x^32 - 2x^9 + 1, och som du har konstaterat så gäller det att (x - 1) | p(x).
Vi låter q(x) = p(x)/(x - 1) och då kan q uttryckas på detta sätt q(x) = xQ(x) + C där Q är ett polynom och C är en konstant.
Så vi vet att q(x)/x = Q(x) + C/x så det räcker att bestämma vad C blir för att få fram resten vid divisionen.
Eftersom vi vet att q(x)(x - 1) = p(x) så får vi att (xQ(x) + C)(x - 1) = xQ(x)(x - 1) + Cx - C = p(x)

Notera nu att vi vet att konstanten i p(x) är 1 därför får vi att C måste vara -1.
Då har vi att resten då vi delar q(x) med x är -1, sen är det bara att förlänga resten med (x - 1) för att få resten för p(x)/(x^2 - x) vilket alltså blir 1 - x

Du vill alltså veta vad svaret är modulu x^2 - x.

Vi har då
x^2 - x = 0 <=>
x^2 = x

Det här betyder att vi kan ta modulu 2 på exponenten av x eftersom x^2 är samma som x (mod x^2 - x).

Vi kan också ta modulu på varje term, så vi har då

x^100 + x^67 - x^32 - 2x^9 +1 (mod x^2 - x) <=>
x + x - x - 2x + 1 (mod x^2 - x) <=>
-x + 1 (mod x^2 - x)

p(x)/q(x)=k(x)+r(x)/q(x)⇔
p(x)=q(x)k(x)+r(x)

r(x)=ax+b
eftersom graden av r(x) är mindre än graden av q(x).
q(x)=x^2-x=x(x-1)

(ax+b)/(x-1)=0
(ax+b)/x=1

Lös ekvationssystemet så tror jag att det blir rätt svar.

Edit: Dvs. kanske, möjligtvis, men troligtvis inte alls.

Tack alla för hjälpen!

Det där ekvationssystemet saknar lösning så jag tror inte det hjälper så mycket.
(ax + b)/(x - 1) = 0 leder till ax + b = 0 för alla x != 1 vilket har enda lösningen a=0, b=0.
Så nästa ekvation i ekvationssytemet blir 0/x = 1 vilket blir en motsägelse.

Givet: p(x) = x^100 + x^67 - x^32 - 2x^9 + 1

Skall skriva p(x) = (x²-x)q(x) + r(x), där r(x) = ax+b.

Sätt x till nollställena för x²-x:
0 = p(1) = a+b
1 = p(0) = b

Alltså, b = 1, a = -b = -1, så r(x) = 1-x.