Vektoranalys - Stokes sats

Planet α = x + y + z = 1 och ytan S: 1 - z = x² + y² skär varandra i en kurva γ. Beräkna (över nämnda kurva) ∫A*dr, där A = (x², y, z).

Kan (bör?) lösas m.h.a. Stokes sats, men jag greppar den inte riktigt. Någon som känner sig manad att hjälpa till?

Rotationen av A ges av:
rot A = (∂(z)/∂y-∂(y)/∂z, ∂(x²)/∂z-∂(z)/∂x, ∂(y)/∂x-∂(x²)/∂y) = (0, 0, 0)

Vi ser att rot A = (0, 0, 0), så fältet är konservativt och ∫A*dr = 0 när man integrerar över en sluten kurva såsom γ.

Min scanner har tyvärr dött, så kan inte scanna in lösningsförslaget. Men här görs flera sepparata kurvstycken (två), och de kommer fram till att ∫A*dr över båda dessa kurvstycken är 0 (eftersom som du säger rotA = 0), vilket då innebär att ∫_γ = -∫_γ2.

De får alltså
∫A*dr (över γ) = -∫A*dr (över γ2) där γ2 är stycket

{x+y=1
{z=0

Svaret blir till slut -1/6.

Är verkligen uppgiften fullständigt given? Skärningskurvan blir så vitt jag kan se en sluten kurva. Står det inte att det är en del av skärningskurvan som integralen skall beräknas över?

Jorå, sorry, visst är det jag som missat en detalj. 0 ≤ z ≤ 1 ska dit.

Uppgiften blir alltså

Planet α = x + y + z = 1 och ytan S: 1 - z = x² + y², 0 ≤ z ≤ 1, skär varandra i en kurva γ. Beräkna (över nämnda kurva) ∫A*dr, där A = (x², y, z).

Då blir γ inte sluten. Men eftersom fältet är konservativt (rot A = 0) kan vi ta godtycklig annan kurva med samma start- och slutpunkter. Startpunkten är (0, 1, 0) och slutpunkten är (1, 0, 0). Tag linjesegmentet mellan dessa: (x, y, z) = (t, 1-t, 0) där t går från 0 till 1, och beräkna integralen över detta.