Arean av geometriska figurer inneslutna i varandra.

Min intuition sa mig som mellanstadieelev, och fortfarande som 30+, att arean av cirkel är densamma som den sammanlagda arean av flera cirklar som tillsammans är inneslutna i en kvadrat med sidan lika stor som den första cirkelns diameter, om de små cirklarnas diameter är jämt delbar med den större cirkelns.

Jag har för mig att jag skrev ett bevis för detta någon gång i gymnasiet, huruvida beviset stämde eller inte kan jag inte uttala mig om. Tror en mattelärare kollade på det och inte direkt hittade något fel.

Min intuition säger mig att detta gäller även i tre dimensioner, samt förmodligen även för liksidiga trianglar. Att det gäller för kvadrater och kuber är självklart. intuition säger vidare att det även gäller omvänt; kvadrater inneslutna i en cirkel.

Stämmer antagandena? Triangelantagandet? Klot? Pyramid?

Hur är det med andra former, både på inneslutning och areaform?

Någon vänlig själ som vet?

Edit: Det är ju bra om man kan stava till intuition...

Edit2: Borde ligga i underforumet, men nu får jag inte ta bort det här inlägget verkar det som. Ursäkta.

Ditt resonemang stämmer åtminstone om du har n^2 lika stora cirklar som fyller kvadraten, det inses lätt och borde inte vara allt för svårt att bevisa. Men du kan ju faktiskt lägga till mindre cirklar i mellanrummen för att på så sätt få plats med mer "cirkelarea" i kvadraten än som är möjligt med en stor cirkel. När detta är gjort kan du fylla de mellanrummen med mindre cirklar och så vidare. Vilket gör att den totala arean av alla cirklar kommer att närma sig den totala arean på kvadraten.

Det var just därför jag skrev "om de små cirklarnas diameter är jämt delbar med den större cirkelns".

Om jag förstod det rätt: Liten cirkel har radie r, samt kvadratens sida är R=n*r för något n. så:
Area stor cirkel=R^2Pi=(nr)^2Pi=n^2*r^2Pi=n^2*Area liten cirkel

Men när du börjar med konstigare former så är väl inte "innesluter cirklar" ett särskilt väldefinierat uttryck så det måste man nog specifiera mer.

Även om du bara fyller din kvadrat med cirklar av samma storlek så gäller antagandet bara om man packar cirklarna kubiskt (eller vad det nu heter i tvådimensionella strukturer) och inte i hexagonala strukturer, vilket börjar bli effektivare om de "små" cirklarna är tillräckligt mycket mindre än kvadraten.

För att resonemanget ska hålla kan man nog säga att de mindre cirklarna/trianglarna/vadsomhelst måste packas så att de precis får plats i en kvadrat som förhåller sig till den stora kvadraten på samma sätt som de små cirklarna/trianglarna/vadsomhelst till den stora cirkeln/triangeln/vad som helst - alltså kubiskt. På detta sätt ändras inte packningsgraden bara för att man byter ut den stora cirkeln/vadsomhelt mot fler mindre.

Och utifrån detta kommer vi fram till att summan av alla dessa små formers area blir den enskilda lilla vadsomhelst-formens area gånger antalet former (vilket i en kvadrat råkar vara x^2). Eftersom den stora vadsomhelst-formens "sida" är just x gånger större än den lillas blir dess yta ganska exakt x*x gånger större. Voila!

På samma sätt kan man lätt visa att det samma gäller för tre-dimensionella former förutsatt att man packar dem kubiskt.

Kanske inte världens mest pedagogiska beskrivningar, men jag har börjat fira midsommar i förtid.