Fördjupningsarbete/uppgift - Matematik D

Hej!

Jag läser just nu matematik D och nu innan sommaren börjar har vi fått en klurig uppgift att lösa i grupper.

Den lyder:

Det finns en uppsättning funktioner som är sammansatta av exponentialfunktioner men som används så pass ofta att de har egna namn. De är:

- cosinus hyperbolicus, coshx = (e^x + e^-x)/2

- sinus hyperbolicus, sinhx = (e^x - e^-x)/2

- tangens hyperbolicus, tanhx = sinhx / coshx

Trots att dessa funktioner består av exponentialfunktioner så har de förvånande likheter med de trigonometriska funktionerna. Det är några av dessa likheter vi skall studera.

* Ta fram deriveringsregler för de här funktionerna

* Visa att "dubbla vinkeln"-formeln för sinus hyperbolicus är sinh2x = 2sinhxcoshx samt härled motsvarande för cosinus hyperbolicus.

* Det finns även en motsvarighet till trigonometriska ettan som kallas hyperboliska ettan som lyder: cosh^2 x - sinh^2 x = 1. Bevisa den.


Vi har löst första punkten samt bevisat att dubbla vinkeln-formeln för sinh2x = 2sinhxcoshx, men därifrån är vi helt lost.

Är det någon som skulle kunna hjälpa oss hade det varit kanon!

Allt kan i princip bevisas med Eulers formler. Men då detta endast är Matte D och imaginära tal inte introduceras förrän Matte E kan det bli lite jobbigare. Kolla med läraren ifall ni får använda er utav imaginära tal. Det är inte så svårt att lära sig och läraren borde uppmuntra er att lära er mer matte. Bara stasi som säger nej till ngt sånt.

Läs mer här
http://sv.wikipedia.org/wiki/Eulers_formel

Har ni klarat av att bevisa dubbla vinkeln borde ni ha absolut inga problem att ta fram deriveringsreglerna heller.

/ B

Edit: Dum som ja e såg ja inte att ni redan löst första problemet

sinh²(x) = ( ( e^x - e^(-x) )/2 )² = (e^x - e^(-x))²/4 = ( e^(2x) + e^(-2x) - 2*e^(2x)*e^(-2x) )/4 = ( e^(2x) + e^(-2x) - 2 )/4 = ( e^(2x) + e^(-2x) )/4 - 1/2

Gör samma sak med cosh och substituera sedan cosh²(x) - sinh²(x) så ser du att det så småningom blir 1/2-(-1/2) = 1.

En ledtråd för att härleda formeln för cosh 2x:

Notera hur den hyperboliska ettan ser ut och jämför med de trigonometriska samband ni kan sedan tidigare.

Symmetri.

Hur löste du dem första två uppifterna?? jag har oxå ett arbete om hyperbolikus funktionerna.

Har ni ngn uppgift där man kan visa hur man använder hyperboliska funktioner för jag ha själv ingen aning och hittar inte mkt information om detta.

Hej!

Jag behöver hjälp med att härleda cosh(2x) = cosh^2 (x) + sinh^2 (x).

Fastnar liksom vid;

cosh(2x) = (e^2x + e^-2x)/2


Hur går jag vidare?