Trippelintegral Flerdim

I de flesta vanliga uppgifter får man information om integrationsområdet osv utifrån x^2 + y^2 < 1 t ex. Denna uppgift lyder istället som följande:

"Beräkna totala massan i en 20 m hög cylindrisk silo med radien 4 m, om tätheten i en punkt belägen h m från botten och r m från cylinderaxeln är 2(25-h)^2(5-r) kg/m^3."

Jag tyckte uppgiften verkade ganska lätt vid en första anblick, och har försökt på några olika sätt som verkade hyfsat intuitiva för mig.. Men jag lyckas fan inte få rätt svar! Kan någon förklara för mig hur man ska tänka, då matteinstitutionen har stäng idag?

Integrationsgränserna väljer du väl själv, när du sätter in cylindern i ett koordinatsystem. Förslagsvis så låter du cylinderaxeln sammanfalla med y-axeln och ger basytan y-koordinaten 0.

Jo precis, jag försökte ställa upp det som en trippelintegral. Då integrerar jag med gränserna 0<y<20, 0<r<4 och 0<theta<2*pi (där < är mindre eller lika med). Men det blir ju ändå inte rätt..

Visst kommer du ihåg att när du byter koordinatsystem från int int int f(x,y,z)dx dy dz till cylindriskt koordinatsystem så faller radien ut? d.v.s. int int int f(x,y,z) dx dy dz = int int int f(r cos theta, r sin theta, h)*r dr dh dtheta?

Annars blir det ju fel.

i trippelintegralen så blir inte jacobis enbart r utan -r^2*sin(phi) där phi är en vinkel som bildas i z-led (vanligtvis).

EDIT: glöm det, du gjorde ett annat variabelbyte än jag tänkte på... (ovan)

Precis, man byter ju helst till ett cylindriskt koordinatsystem och inte ett sfäriskt, när det handlar om en cylinder!

Dintintint(f(x,y,z)dxdydz), där D är kroppen du integrerar över.

f(x,y,z)=2(25-z)^2*(5-r) där r=sqrt(x^2+y^2)

Denna lär gälla om du har en cylinder som står upp i z-led.

Alltså:

Dintintint(f(x,y,z)dxdydz)=Eint(Fintint(f(x,y,z)dx dy)dz)

Där E är området 0<=z<=20 (höjden)
och F är bottencirkeln: x^2+y^2<=4^2.

beräkna först Fint(f(x,y,z)dxdy).

Byte till planpolära koordinater:

x=pcos(fi)
y=psin(fi)

F ges då nu av:
0<=p<=4
0<=fi<=2pi
p=r=x^2+y^2

dxdy=p*dpdfi

Fint(2(25-z)^2*(5-p)*p*dpdfi)
=> 2(25-z)^2*2pi*Fint((5p-p^2)dp) ---(integralen över fi blir 2pi)
=> 4pi(25-z)^2*[(5/2)p^2-(1/3)p^3] (från p=0 till p=4)
=> 4pi(25-z)^2*((5/2)*16-64/3)
=> 4pi(25-z)^2*(40-64/3) = (224/3)pi(25-z)^2

Integrera z över E

Eint(((224/3)pi(25-z)^2)dz)
=>(224/3)pi*Eint((25-z)^2)dz)
=>(224/3)pi*[-(1/3)*(25-z)^3] (från z=0 till z=20)
=>(224/3)pi*((1/3)*25^3-(1/3)*5^3)=(3 472 000/3)*pi

hehe, nu är det säkert tusen slarvfel. Ska kolla igenom snart.