Ekvationssystem

tjena

fick ett ganska så klurigt ekvationssystem av min mattelärare för ett tag sen som jag inte lyckas lösa (min lärare sa att jag inte skulle göra det heller...)
Kanske finns det någon här som har en bra metod. OBS *får enbart lösas med "matte A och B-kunskaper".

x^2 + y = 11
y^2 + x = 7

Haha jag hatar ekvationer

Förmodligen går det inte lösa utan derrivata eller något annat sjukligt avancerat skrytar grejs

såhär!

x = 7 - y^2

Sedan sätter du in det jag skrev nyss i : x^2+y=11..så att det blir : (7-y^2)^2 + y = 11

..resan bör du kunna fixa själv ( =

Vilket leder till en fjärdegradsekvation...:

(7 - y^2)^2 + y = 11

(49 - 14y^2 +y^4)+y = 11

y^4 - 14y^2 + y + 38 = 0

...vilket jag inte lärt mig lösa än :/

Hur som helst så sa min lärare att den kunde lösas med en mycket enklare metod, och det är helst den metoden jag vill komma åt

Enklaste med denna är att gissa sig fram till att x=3 och y=2

Dock så är den lösningen inte algebraisk

Jag återkommer med en lösning senare, men jag lovar inget va?

(Lång lösning!)

(1) x^2 + y = 11
(2) y^2 + x = 7

Jag förutsätter positiva heltalslösningar, annars finns flera. Vi tittar på uttrycken:

(1) x^2 + y = 11, här har vi att 11 är ett udda tal, så antingen måste x vara jämnt och y udda eller så måste x vara udda och y jämnt. Vidare så om x = 0 så är y = 11 (uppfyller ena ekvationen), vilket ger att vi måste ha:

0 <= y <= 11

För x så om y = 0 så är 0 <= x <= 3 (för om x = 4 så 4^2 + y > 11)

(2) y^2 + x = 7, här har vi att 7 är ett udda tal, så antingen x jämnt och y udda eller tvärtom. Om x = 0 så är y^2 = 7 så 0 <= y <= 2, (för om y = 3 så är y^2 + x > 7), om y = 0 så är 0 <= x < = 7. Vilket gör att vet:

(1') 0 <= y <= 11
(1'') 0 <= x <= 3
(2') 0 <= y <= 2
(2'') 0 <= x <= 7

Samlar man ihop dessa villkor, alla måste ju vara sanna samtidigt så kan vi sammanfatta det som:

0 <= y <= 2 och 0 <= x <= 3. Vilket gör att vi måste undersöka om:

(x,y) = (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1), (3,2)

Om vi filtrerar ut de som har jämn+jämn alternativt udda+udda ges:

(x,y) = (0,1), (1,0), (1,2), (2,1), (3,0), (3,2)

Kontroll:

0^2 + 1 != 11 så (0,1) stryks
1^2 + 0 != 11 så (1,0) stryks
1^2 + 2 != 11 så (1,2) stryks
2^2 + 1 != 11 så (2,1) stryks
3^2 + 0 != 11 så (3,0) stryks
3^2 + 2 = 11, (1) OK
2^2 + 3 = 7, (2) OK

Svar: (x,y) = (3,2). Om icke heltalslösningar finns flera

http://www51.wolframalpha.com/input/...^2+%2B+x+%3D+7

Nu börjar det likna något Tusen tack Hedlund!