JIPPI! Potenser av komplexa tal!

Hejsan hoppsan!

Jag har ett par tal som jag har problem att lösa, så jag hoppas att en vänlig själ kan hjälpa. Here goes:

Tal 1
Bestäm det minsta positiva heltal n sådant att uttrycket är reellt

((1 +i√(3)) /(1 +i))^n

(Jag antar att man ska använda de Moivres formel och att man ska sätta den imaginära delen till 0 när man lyckats skriva om det i polär form)



Tal 2
Låt z = cos(v) + i sin(v) och förenkla uttrycket w = z^n + 1/z^n


Tack så mycket på förhand!

1)
((1 + i*sqrt(3))/(1 + i))^n

1 + i*sqrt(3) = 2*e^(i*pi/3)
1 + i = sqrt(2)*e^(i*pi/4)

Nu är kvoten av dessa lika med sqrt(2)*e^(i*pi/3 - i*pi/4) = sqrt(2)*e^(i*pi/12)

Så ((1 + i*sqrt(3))/(1 + i))^n = sqrt(2)^n*e^(i*n*pi/12) = sqrt(2)^n*cos(n*pi/12) + sqrt(2)^n*i*sin(n*pi/12)

Nu är alltså frågan, "Det minsta positiva n" så att sin(n*pi/12) = 0

2)
z = cos(v) + i*sin(v), då är w = z^n + 1/z^n = z^n + z^(-n), enligt De Moivres formel är z^n = cos(n*v) + i*sin(n*v) så z^(-n) = cos(-nv) + i*sin(-nv), men cos(-nv) = cos(nv) och sin(-nv) = -sin(nv) så det blir:

cos(nv) + i*sin(nv) + cos(nv) - i*sin(nv) = 2cos(nv)

kan man lösa första uppgiften på ett annant sätt? Utan att blanda in basen e?

1 + i√(3) = 2 (1/2 + i√(3)/2) = 2 (cos(pi/3) + i sin(pi/3)) = 2 exp(i pi/3)
1 + i = √(2) (1/√(2) + i/√(2)) = √(2) (cos(pi/4) + i sin(pi/4)) = √(2) exp(i pi/4)
(1 + i√(3)) / (1 + i) = (2 exp(i pi/3)) / (√(2) exp(i pi/4)) = √(2) exp(i pi/3 - i pi/4)
= √(2) exp(i pi/12)
((1 + i√(3)) / (1 + i))^n = (√(2) exp(i pi/12))^n = 2^(n/2) exp(i n pi/12)
Detta är reellt om n pi/12 är en multipel av pi, dvs om n är en multipel av 12.
Minsta positiva n som gör uttrycket reellt är alltså n = 12 (n = 0 räknas inte som positivt).

Du kan se exp(u) som en förkortning av cos(u) + i sin(u).



z = cos(v) + i sin(v)
z^n = cos(nv) + i sin(nv)
1/z = cos(v) + i sin(-v) = cos(v) - i sin(v)
1/z^n = cos(nv) - i sin(nv)
w = z^n + 1/z^n = (cos(nv) + i sin(nv)) + (cos(nv) - i sin(nv)) = 2 cos(nv)