y´-y = e^x

Differentialekvationen y´-y = e^x har en lösningskurva som går genom punkten (0,1).
Bestäm ekvationen för kurvans tangent i denna punkt.

Svar:

y`(0)= e^0 + 1 = 2 (ger k-värde)

1= 2.0 + m --> m= 1

y= 2x + 1


Det verkar som att man får fram denna lösning endast med hjälp av partikulärlösningen. Som då ger y=e^x

Men om man vill få fram lösningskurvan så måste man väl veta om den allmäna lösningen. Då man adderar den homogena ekvationen med partikulärlösningen?

Men man kan inte få fram den verkar det som:

yp:

e^x - e^x = e^x

e^x(a-a) ≠ e^x

Ett värde på a kan alltså inte satisfiera ekvationen. Men omskrivningen som jag visade först verkar ändå korrekt. Så frågan är hur kan man endast med hjälp av partikulärlösningen identifiera en tangent till lösningskurvan, behövs inte den allmänna lösningen?
Vad har man den till i så fall om man kan få fram lösningskurvor endast med hjälp av partikulärlösningen?

e^x är en lösning till det homogena problemet, och inte partikulärlösningen som i detta fall är xe^x.

Tänk på att man alltid ska ansätta en grad högre än högerledet.

I ditt fall ansätter du yp till Ae^x + B

Du borde ansätta Axe^x + Be^x + C

Nu behövde ju inte ekvationen lösas för att du skulle kunna ta fram tangentens ekvation, men om du vill lösa ekvationen finns flera metoder.

En metod är att multiplicera med integrerande faktorn e^(-x):
e^(-x) y' - e^(-x) y = e^(-x) e^x
dvs
(e^(-x) y)' = 1

Antiderivering ger
e^(-x) y = x + C
vilket efter multiplikation med e^x leder till
y = (x + C) e^x

Insättning av y(0) = 1 ger C = 1. Lösningen är alltså y(x) = (x + 1) e^x.

Derivatan blir y'(x) = 1 e^x + (x + 1) e^x = (x + 2) e^x, så y'(0) = 2. Tangentens ekvation blir därför y(x) = 2 x + 1, precis som du hade fått fram.