Ma Breddning

Förstår inte riktigt denna uppgift.

I Hur många pythagoreiska taltripplar kan talet 100 förekomma och det är av typen x=2mn där m>n.
Bestäm dessa taltripplar, m och n är heltal.


Vet ju att en Pythagoreisk taltrippel ser ut såhär x^2 + y^2 = z^2

men hur går man vidare?

Verkligen ingen som kan?

Är det alla par (x,y,z) som har 100 i sig som avses? Eller bara de för x-delen?

Edit: Så här är det om man söker alla ...

Man kan visa att om x = 2mn så är y = m^2 - n^2 och z = m^2 + n^2 nu ska någon av dessa vara lika med 100 samtidigt som 0 < n < m (kan ej vara negativt om det är 'riktiga' trianglar). Då har vi:

(1) 100 = 2mn <=> mn = 50
(2) 100 = m^2 - n^2 <=> 100 = (m + n)(m - n)
(3) 100 = m^2 + n^2

Ja, så som jag förstår det ska det vara x,y eller z.

förstår dock inte riktigt ditt svar sen?

Vad förstår du inte? Man kan komma fram till att:

x = 2mn
y = m^2 - n^2
z = (m^2 + n^2)

Om någon av x,y,z är 100 så ger det 100 = 2mn eller 100 = m^2 - n^2 eller 100 = m^2 + n^2 med 0 < n < m.

(1) 100 = 2mn <=> mn = 50
(2) 100 = m^2 - n^2 <=> 100 = (m + n)(m - n)
(3) 100 = m^2 + n^2

(1) ger mn = 50

Faktorisering av 50 = 1*2*5*5 så (m,n) = (50,1),(25,2),(10,5) är lösningar

(2) ger (m,n) = (26,24) som enda rot

(3) ger m^2 + n^2 = 100 så 0 < n < m <= 10 ger (vid prövning) (m,n) = (8,6) som enda rot

Sammanfattar man dessa så blir:

(x,y,z) = (100,2499,2501), (100,621,629), (100,75,125), (1248,100,1252), (96,28,100). Observera att bara del (1) är ordentligt löst, du måste visa för (2) och (3) mer noga hur det går att algebraiskt motivera.

Fast den metoden som du använder Hedlund genererar väl inte alla pythagoreiska tripplar? Det finns väl även tripplar på formen
x = k * 2mn
y = k * (m^2 - n^2)
z = k * (m^2 + n^2)
som inte går att få om man inte har med det positiva heltalet k i formeln.

Nej, de generar förvisso bara de "primitiva". Men för x så generar de alla. De för y och z måste man undersöka mera noggrannt.Till exempel fann jag (genom snabb koll med papper och penna) för z att (k,n,m) = (2,5,5) är en lösning. Detta ger dock:

x = 2*2*5*5 = 100
y = 2*(5^2 - 5^2) = 0
z = 2*(5^2 + 5^2) = 100 så (100,0,100) men den är ju ej 'giltig'. Och från när jag började skriva det här inlägget började jag brute-forcea med datorprogram (dock långsam kod):

(k,m,n) = (1,24,26),(4,12,13) funna inga andra för y.
(k,m,n) = (1,6,8), (2,5,5) funna inga andra för z.

Dock måste man bevisa att det finns fler. Jag tror att de jag funnit är 'alla' då dessa kombinationer funna med BF är identiska eller ger 100^2 = 100^2.

Det går ju dock t.ex. att göra trippeln 60^2 + 80^2 = 100^2 om man multiplicerar 3^2 + 4^2 = 5^2 med 20^2 så riktigt alla är det inte.

Ja. Du har helt rätt. Så här bör funka för att generera alla:

Generera alla primitiva (dvs ges av m,n i föregående formler) där x,y,z <= 50 och de som innehåller något tal som delar 100. Multiplicera sen fram så det blir som att (3,4,5) -> (60,80,100) som du gjort. Ta sen de primitiva för talet 100 (som jag gjort). Detta genererar samtliga (jag är övertygad :P).