exakt analytisk lösning

Hej

Någon som vet ifall det går att hitta en exakt analytisk lösning till:

x^3=0.4*e^x

kommentera gärna ifall ni anser att det inte går att hitta en sådan

går inte

kan du bevisa det?

Nix

Ids icke leta upp ett bevis. Men det går inte.

men det finns ett bevis alltså?

Han menade nog bevis för att det inte går.

jo det menade jag oxå

Skriv först om ekvationen i dessa steg.

x³ = 0.4exp(x)
1/0.4 = (1/x³)exp(x)
0.4^(1/3) = xexp(-x/3)
(-1/3)0.4^(1/3) = (-x/3)exp(-x/3)

Lamberts W-funktion definieras av att den är lösningen till z = W(z)exp(W(z)) och således ges vår lösning av

-x/3 = W((-1/3)0.4^(1/3))

eller

x = -3W((-1/3)0.4^(1/3))

Lamberts W-funktion är flervärd och för reella argument mellan -1/e ≈ -0.37 och 0 finns två reella grenar av funktionen. Den första betecknas W[0] och kallas principialgrenen och uppfyller W[0] ≥ -1 medan den andra betecknas W[-1] och uppfyller W[-1] ≤ -1. Eftersom (-1/3)0.4^(1/3) ≈ -0.25 får vi just dessa två lösningar:

x[0] = 1.04321627703354

och

x[-1] = 6.55864096766431

med exempelvis MATLAB eller någon annan programvara som implementerar denna funktion. Lamberts W-funktion är icke-elementär och det är detta som menas med att det inte finns någon analytisk lösning - vi kan inte uttrycka lösningen som en summa av elementära funktioner.

Ett bevis för att Lamberts W-funktion inte är elementär: http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/...s/ITSF2006.pdf

Definition av elementära ("Liouvilleiska") funktioner: http://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html

najs.. vilken kurs är det man lär sig om Lamberts W-funktion ?

Den dyker upp när ett problem kräver att man använder den. Jag tror själv aldrig jag använt den utanför FB.