Derivatan av en kvot [bevis]

Hej!

Jag undrar om någon kan förklara beviset bakom derivatan av en kvot.

I kursboken står följande:

y = u/v där u och v är funktioner av x.

y = u * v^-1 som deriveras med produktregeln

y' = u*(-1)*v^-2 * v' + v^-1 *u' = -uv/v^2 + u'/v

y' = (vu'-uv') / v^2

Det är vid det tredje ledet jag fastnar. Vartifrån kommer v'?

Produktregeln säger ju att derivatan av en produkt = f(x)*g'(x) + f'(x)*g(x)

I ett exempel löser de en uppgift på följande sätt:

y = sin x / x
y = sin x * x^-1
y' = sin x * (-1)*x^-2 + x^-1 * cos x = -sin x /x^2 + cos x / x
==> y' = (xcos(x)-sin(x))/x^2

Där följer de produktregeln exakt? Inget x'? Som sagt, skulle gärna vilja veta vart v' kommer ifrån.

Uppskattar all hjälp

v' uppkommer av kedjeregeln.

Funktionerna u och v deriveras med avseende på x, då kommer v' ut som en inre derivata.

Anledningen till att x' saknas i den andra är att x är en variabel och ej en funktion.

Här är ett annat bevis som kräver färre regler:

y = u/v

Multiplicera båda led med v:
y v = u

Derivera:
y' v + y v' = u'

Sätt in y = u/v:
y' v + (u/v) v' = u'

Lös ut y':
y' = (u' - (u/v) v')/v = (u' v - u v')/v²

Tack båda för svar!

Erhm, sitter och repeterar samma kapitel och kom fram till att jag fortfarande inte förstår *varför* v' kommer med i bilden, produktregeln säger väl att det är första faktorn * den andra faktorns derivata + den första faktorns derivata * den andra faktorn.

v^-1s derivata blir ju -1v^-2?

Det du missar är att x' = 1.

om man kallar funktionen i täljaren för T(x) och funktionen i nämnaren för N(x) kan vi få:

F(x) = T(x)/N(x)

F'(x) = (N(x)*T'(x)-T(x)*N'(x))/N(x)^2