Förenkla

Hej kära medmänniskor!

Kan någon vänlig och beläst själv bistå med lösning till följande problem:

Förenkla så långt som möjligt

ln(x(sqrt(1+e^x)-sqrt(e^x))+ln(sqrt(1+(e^-x))+1)

Stämmer verkligen paranteserna? (Saknas iaf en längst till höger)
Känns inte som att det går att förenkla mer när det ser ut som det gör just nu;

ln(a+ln(b)).

Skulle det vara av typen ln(a)+ln(b) = ln(ab) får man inte heller ett särskilt kul uttryck, men ändå;

ln( x(sqrt[2+e^x+e^-x] - sqrt[e^x}) )

(med reservation för något feltänk)

Om du menar ln(x[sqrt(1 + e^x) - sqrt(e^x)]) + ln(sqrt[1 + e^(-x))] + 1)

Så kan det förenklas på följande vis:

ln(x) + ln([sqrt(1 + e^x) - sqrt(e^x)][sqrt(1 + e^(-x)) + 1]) =
ln(x) + ln(sqrt(1 + e^x) - sqrt(e^x) + sqrt(2 + e^x + e^(-x)) - sqrt(e^x + 1)) =
ln(x) + ln(sqrt(2 + e^x + e^(-x)) - sqrt(e^x)) =
ln(x) + ln(sqrt([e^(2x) + 2e^x + 1]/e^x) - sqrt(e^x)) =
ln(x) + ln(sqrt([e^x + 1]^2/e^x) - sqrt(e^x)) =
ln(x) + ln([e^x + 1]/sqrt(e^x) - sqrt(e^x)) =
ln(x) + ln([e^x + 1 - e^x]/sqrt(e^x)) =
ln(x) + ln(1/sqrt(e^x)) =
ln(x) - 0.5ln(e^x) = ln(x) - 0.5x