Differential ekvation

Hej

Vilken teknik skulle jag använda för att lösa (analytiskt) en diff. ekv. av typen

f ''(x) = (Ax^2 + B)*f(x)

där A och B är konstanter.

några tips?

Ska det inte stå f ''(x) = (A*f(x)^2 + B)*f(x)

nej, det är korrekt som jag skrev.

alltså f ''(x) = g(x)*f(x)

där g(x) = Ax^2 + B

Får man fråga varifrån du har fått differentialekvationen?

tidsoberoende schrödinger ekvationen för en enkel harmonisk oscillator.

potentialen är U(x) = (k*x^2)/2, där k är "fjäderkonstanten"

-(h_bar)^2/(2*m) * f ''(x) + U(x)*f(x) = E*f(x)

f(x) är vågfunktionen.

efter lite omstuvning leder det till i princip den ekvationen jag angav

Okej... Det sätt som brukar användas är att bilda stegoperatorer.

Hamiltonoperatorn är H = p²/(2m) + kx²/2 och vi skall lösa HΨ = EΨ, där E är en skalär.

Sätt a = √(k/2) x - i (1/√(2m)) p. Dess hermitska konjugat är a* = √(k/2) x + i (1/√(2m)) p.

Multiplicerar vi dessa och kommer ihåg att x och p inte kommuterar, får vi
a* a = p²/(2m) + kx²/2 - i (1/2) √(k/m) xp + i (1/2) √(k/m) px
= H - i (1/2) √(k/m) [x, p]

Kommutatorn av dem blir
[a*, a] = - i (1/2) √(k/m) xp + i (1/2) √(k/m) px - i (1/2) √(k/m) xp + i (1/2) √(k/m) px = - i √(k/m) [x, p] = - √(k/m)

Insättning av kommutatorn [x, p] = -i (där jag har satt h-streck = 1) ger
a* a = H - (1/2) √(k/m)
dvs
H = a* a + E0,
där E0 = (1/2) √(k/m).

Antag att Ψ är en lösning till HΨ = EΨ och studera följande beräkning:
H (a Ψ) = (a* a + E0) (aΨ) = a* a² Ψ + e0 a Ψ
= ([a*, a] + a a*) a Ψ + a E0 Ψ = - √(k/m) a Ψ + a (a* a) Ψ + a E0 Ψ
= - a √(k/m) Ψ + a H Ψ = - a √(k/m) Ψ + a E Ψ = (E - √(k/m)) a Ψ
= (E - √(k/m)) (a Ψ)
Vi ser att även aΨ är en lösning men med energin E - √(k/m).
På samma sätt kan man visa att också a*Ψ är en lösning men med energin E + √(k/m).
Av denna anledning kallas a och a* för stegoperatorer; a stegar ned energin, medan a* stegar upp den.

Nu konstaterar vi att genom att tillämpa a godtyckligt antal gånger kan vi sänka energin godtyckligt. Men... och detta är viktigt... eftersom H är positivt definit kan E aldrig bli negativ. Därför måste det finnas en funktion Ψ0 sådan att a Ψ0 = 0. Vi skall alltså ha:
( √(k/2) x - i (1/√(2m)) p ) Ψ0 = 0
Insättning av p = -i d/dx ger
( √(k/2) x + (1/√(2m)) d/dx ) Ψ0 = 0
dvs
(1/√(2m)) d(Ψ0)/dx = - √(k/2) x Ψ0
med lösningen
Ψ0(x) = C exp(- √(k/m) x²/2)
och E = E0.

Övriga lösningar bildas genom att applicera a* på Ψ0 iterativt:
Ψ1 = a* Ψ0 med energin E1 = E0 + √(k/m)
Ψ2 = a* Ψ1 med energin E2 = E1 + √(k/m) = E0 + 2 √(k/m)
Ψ3 = a* Ψ2 med energin E3 = E2 + √(k/m) = E0 + 3 √(k/m)
osv


(Jag tror att jag har råkat få teckenfel på ett par ställen i beräkningarna, så var beredd på det.)