Mattemagi (en andragradsekvation)

Lite pinsam fråga, eftersom man borde kunna det här. Om man ska få en dubbelrot i följande ekvation, vilket värde har då talet b?

x^2-2x+7=b(2x-b)

Jag har fått fram 3,17, eftersom jag trodde att halva förstagradskoeffecienten i kvadrat då blir lika med konstanten, men jag tror inte att det stämmer. Kännetecknande för en dubbelrot är ju att (p/2)^2 - q = 0

Skulle vara jättetacksam för hjälp!

Om b=0 så får du ju en andragradsekvation med två rötter, men så enkelt lär det knappast vara

Nu blir jag lack (på mig själv), som skogsturken skulle ha sagt.

Men tyvärr tror jag att det enkla problemet är lite mer komplext än så? Som jag har uppfattat det så är en dubbelrot när de två rötterna har samma värde, eller?

Jo, men om jag inte minns helt så måste talet under rottecknet vara lika med noll om det ska definieras som en dubbelrot, vilket det inte är i ditt fall.

Men nu förstod jag din uppgift lite mer när jag tänkte efter...
Jag chansar nu, men b(2x-b) bör bli 6.
Sen tar du bort 6 ifrån 7 så att du får en andragradsekvation som bör lyda; x^2-2x+1=0

Då blir det 0 under rottecknet, och du får en dubbelrot. Men, lite inte på mig, jag kan mycket väl ha fel

x^2-2x+7=b(2x-b)

Ska ha en dubbelrot, vi flyttar över och får:

x^2 - 2x + 7 = 2bx - b^2
x^2 + x*(-2 - 2bx) + 7 + b^2 = 0

Om det har en dubbelrot, så innebär det att det finns ett tal a så att:

(x - a)^2 = x^2 + x*(-2 - 2b) + 7 + b^2

Varför?

Expanderar vi båda led fås:

x^2 - 2ax + a^2 = x^2 + x*(-2 - 2b) + 7 + b^2
x^2 + x*(-2a) + a^2 = x^2 + x*(-2 - 2b) + 7 + b^2
x*(-2a + 2 + 2b) + a^2 - b^2 - 7 = 0

Nu måste talet a vara sådan att:

(i) -2a + 2 + 2b = 0
(i) a^2 - b^2 - 7 = 0

Den första ekvationen ger a = b + 1, vilket insatt i (ii) ger:
(b + 1)^2 - b^2 - 7 = 0
b^2 + 2b + 1 - b^2 - 7 = 0
2b - 6 = 0

Ger b = 3

Vilket ger a = 3 + 1

Alltså får vi:

x^2 - 2x + 7 = 3*(2x - 3)

Då har vi ju:
x^2 - 2x + 7 = 6x - 9
x^2 - 8x - 16 = 0
(x - 4)^2 = 0

x^2-2x+7=2bx-b^2

x^2-x(2+2b)+(7+b^2)=0

((-(2+2b))^2)/2^2=7+b^2

(4+8b+4b^2)/4=7+b^2

b^2+2b+1=7+b^2

2b=6

b=3

Kan det stämma? Har säkert gjort nått fel.

Tack så mycket för alla svar, 3 verkar vara svaret om frågan är b!

En alternativ lösning:

Ekvationen x^2-2x+7 = b(2x-b) har en dubbelrot om och endast om parabeln y = x^2-2x+7 och linjen y = b(2x-b) tangerar varandra (dvs om linjen är tangent till parabeln).

I tangeringspunkten (xT, yT) skall derivatorna vara lika, vilket ger
2xT-2 = 2b
dvs xT = b+1.

I tangeringspunkten skall även y-värdena vara lika, vilket ger
xT^2 - 2xT + 7 = b(2xT - b)

Insättning av xT = b+1 ger
(b+1)^2 - 2(b+1) + 7 = b(2(b+1) - b)
vilket utvecklat ger
b^2 + 2b +1 - 2b -2 +7 = 2b^2 + 2b - b^2.
Andragradstermerna försvinner och kvar blir bara
6 = 2b
dvs
b = 3.