Funktioner & derivata

Har lite problem med 2 mattetal som jag klurat på ett tag men inte lyckats lösa.

Tal 1:
Funktionen y=1/x har två tangenter med lutningen -4. Bestäm tangenternas ekvation.

Tal 2:
Linjen y=x-1 skär kurvan y=x-x^2 i två punkter.
a/ Bestäm ekvationerna för tangenterna i skärningspunkterna.
b/ I vilken punkt skär tangenterna varandra? (Denna är inte svår, men går inte eftersom jag inte lyckas med a)

Antar att man skall kunna lösa a utan att måla upp graferna på något vis, kan dock inte komma på hur man skall göra. Tacksam för alla svar!

Börja med att derivera och lösa ekvationen y' = -4. Då hittar du tangeringspunkterna. Bestäm sedan tangenterna i dessa punkter.


I en skärningspunkt (x, y) gäller att både y=x-1 och y=x-x^2 är uppfyllda. Detta ger ekvationen x-1 = x-x^2. Lös den!
Bestäm sedan tangenterna till y=x-x^2 i de två punkter du fick fram.
När du har gjort detta är - som du själv säger - b närmast trivial.

Att funktionen har två tangenter med lutningen -4 betyder att k-värdet (=derivatan) är -4 i två olika punkter på kurvan. Vi måste ta reda på för vilka x som ger derivatan -4.

y = 1/x
y' = -1/x²

y' = -4
-1/x² = -4
x² = ±√(1/4)

x1 = -1/2
x2 = 1/2

Ekvationen för en tangent (rät linje) är
y = kx + m

Vi vet vad k och x är och vi måste ta reda på y för att sedan kunna lösa ut m.

y = 1/x
y(-1/2) = 1/(-1/2) = -2
y(1/2) = 1/(1/2) = 2

Vi sätter in våra värden i tangenternas ekvation och löser ut m:
y = kx + m
-2 = -4(-1/2) + m
-2 = 2 + m
m = -4

y = kx + m
2 = -4(1/2) +m
m = 4

Svar: Tangenternas ekvationer är
y = -4x -4
y = -4x +4

Denna är inte mycket svårare att lösa än första talet så om du följer dessa steg bör du kunna lösa den själv.
1. Du måste ta reda på i vilka punkter kurvan och linjen skär varandra, detta genom att sätta funktionerna lika varandra y1 = y2 och lös ut x.

2. Ta reda på kurvans lutning i dessa punkter (derivera och sätt in värdena).

3. Sätt in värden och lös ut m på samma sätt som i första uppgiften.

På b/ är det bara att sätta tangenternas ekvationer lika med varandra.

Tackar för svaren =)