Matte C - Euler och Derivering av exponentialfunktioner.

Har lite problem med hur jag ska formulera min fråga då jag inte förstått tillräckligt mycket för att ens förstå mig på vad jag ska fråga.
Just nu är det på tok för många siffror i mitt huvud och jag får fnatt då jag kommer till ytterligare en sida med ytterligare förklaringar som matteboken än en gång misslyckas med att förklara på vettigt sätt.

när man deriverar något upphöjt i x, jag förstår vad man gör, men inte varför. Skulle någon kunna förklara detta för mig?
Och Euler, varför i helvete använder man det och, ja?

Tack på förhand!

Euler har gjort mycket, menar du omskrivningen av cos & sinussatser?
Om det är det du menar så är det för att underlätta vissa problem, typ integraler. Om du har ett problem typ cos(x)(sin(x))^2 som du ska integrera så går det inte att använda partialintegral-formeln rakt av. Då problemet bara går i "cirklar". När du skriver om problemet till på Eulers form kan du göra om termen till en summa av cos och sinussatser + nån konstant. Detta blir bra mycket enklare att hantera.

EDIT: Vad gäller den andra frågan så kan jag faktiskt inte förklara varför man gör det, bara hur man gör. Du får nog läsa beviset om du ska förstå varför.

Alltid när du deriverar utgår man från derivatans definition.

Derivatans definition är ju ungefär; för punkten x,f(x) är derivatan lutningen på linjen mellan punkterna x,f(x) och x+h,f(x+h) (x+h är alltså en punkt lite längre bort på kurvan). Detta är ju lite fel till att börja med men låter man h gå mot 0 så blir försvinner felet och man får den exakta derivatan (lutningen på kurvan i punkten x).

Ur detta kan man härleda vissa saker, till exempel att derivatan av x^n är n*x^(n-1). Om du provar att sätta in x^n i derivatans definition kommer du få det svaret.

Alla andra deriveringsregler har tagits fram på samma sätt. Alltså bara genvägar som man kan klura ut med hjälp av definitionen.

detta känner jag till, men i stunden kan jag inte direkt koppla hur f(x)=5*e^3x*3
deriverat blir f'(x)=15e^3x, vilket min mattebok visar. Antingen har jag förstått helt fel eller inte alls.

Det är för att e (basen för naturliga logaritmen) är speciell när den deriveras.

Det fungerar på samma sätt som x^n förutom att du inte drar bort något från n efteråt. Så derivatan av e^3x är 3e^3x. (och derivatan av e^x är e^x)

Det följer också ur definitionen av derivatan, och du kan lika gärna stoppa in hela uttrycket i definitionen och (om du lyckas, kan blir krångligt det är därför genvägarna finns) räkna fram resultatet.

Exemplet du tar upp f(x)=5*e^3x*3, är ju lite skumt. Vad är trean på slutet? (skrivit av fel?)

Jag gissar på att du menar f(x)=5*e^3x vilket ju som sagt blir; flytta ner trean, och minska inte. så f'(x)=3*5*e^3x=15e^3x.

(Har du inte skrivit fel så är ju uttrycket antingen f(x)=15*e^3x eller möjligen f(x)=5*e^6x)

Helt korrekt har du, jag hade skrivit av fel. och nu har jag satt mig ner och faktiskt förstått det där och även förstått hur det blir på detta vis!
Dock känner jag mig fortfarande dum, då jag inte förstått att e alltså är en konstant?

Jamen jaha! Det var inte så komplicerat, allt förstått!

Mm e är en konstant ungefär som pi. Derivatan av bara e är alltså 0, som du kanske redan förstått.