Statistisk räkneuppgift

2009-02-02, 15:51 #1

Medlem

Reg: Jan 2008

Inlägg: 24

Antag att X1, . . . ,Xn är ett stickprov från X med E(X) = μ och V (X) = (sigma)2. (upphöjt till två på alla tal där det är 2:a efter)
(a) Om μ* är en väntevärdesriktig skattning av μ med V (μ*) > 0, visa att (μ*)2 då inte är en väntevärdesriktig skattning av μ2.

(b) Visa att X2 (skall vara medelvärdet av X i kvadrat) är en asymptotiskt väntevärdesriktig skattning av μ2 dvs. visa att
lim (n->oänd.) E(X2) = μ2 . (X2 är även här medelvärdet av X i kvadrat)

vore tacksam för lite hjälp på denna. känna inte som min hjärna har vaknat till liv efter nyår ;-)

__________________
Senast redigerad av onlyfool 2009-02-02 kl. 16:11.

Citera

2019-07-25, 17:52 #2

Medlem

Reg: Jul 2019

Inlägg: 42

Jag försöker mig på en lösning och ser fram emot att bli rättad.

Citat:

Ursprungligen postat av onlyfool

Antag att X1, . . . ,Xn är ett stickprov från X med E(X) = μ och V (X) = (sigma)2. (upphöjt till två på alla tal där det är 2:a efter)
(a) Om μ* är en väntevärdesriktig skattning av μ med V (μ*) > 0, visa att (μ*)2 då inte är en väntevärdesriktig skattning av μ2.

Jag använder

Kod:

V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2      (formel 1)

Det kan eventuellt behöva visas. Det kan man göra genom att utgå från definitionen av varians:

Kod:

V[Y] = E[(Y-E[Y])^2]          (definition av varians)

Man har fått veta att μ* är en väntevärdesriktig skattning

Kod:

E[μ*] = μ

och

Kod:

V[μ*] > 0

Sätt in detta i formel 1

Kod:

         V[μ*] = E[(μ*)^2] - (E[μ*])^2
 ==> E[(μ*)^2] = (E[μ*])^2 + V[μ*]

Använd E[μ*] = μ

Kod:

==> E[(μ*)^2] = μ^2 + V[μ*]

Använd V[μ*] > 0

Kod:

==> E[(μ*)^2] ≠ μ^2

Det som står i rutan ovan är att (μ*)^2 inte är en väntevärdesriktig skattning av μ^2

Citat:

Ursprungligen postat av onlyfool

(b) Visa att X2 (skall vara medelvärdet av X i kvadrat) är en asymptotiskt väntevärdesriktig skattning av μ2 dvs. visa att
lim (n->oänd.) E(X2) = μ2 . (X2 är även här medelvärdet av X i kvadrat)

Jag använder

Kod:

            n
        1  ____
lim     _  ╲   X     =    E[X]             (stora talens lag)
n→∞     n  ╱    k
           ‾‾‾‾
           k = 1

Den kan eventuellt behöva visas. Det vet jag inte hur man gör.

Jag använder även

Kod:

E[c] = c om c är en konstant          (formel 2)

Det behöver antagligen inte visas. Det vet jag inte hur man gör.

Jag använder följande symbol för medelvärdet av alla X i stickprovet

Kod:

<X>

Enligt stora talens lag gäller

Kod:

lim E[(<X>)^2] = E[(E[X])^2]
n→∞
               = E[μ^2]         (eftersom E[X] = μ)

u^2 är konstant så enligt (formel 2) gäller

Kod:

lim E[(<X>)^2] = μ^2
n→∞

Det som står i rutan ovan är att (<X>)^2 är en asymptotiskt väntevärdesriktig skattning av μ^2

Citera

Statistisk räkneuppgift

Stöd Flashback