Vi börjar med att placera ut tre små bollar så att de har centrum i punkterna P1 = (1, 0, 0), P2 = (-1/2, √3/2, 0) resp P3 = (-1/2, -√3/2, 0). De ligger då i hörnen av en liksidig triangel vars centrum är i origo. Sedan låter vi dem växa tills de stöter i varandra. Man ser på de två senare bollarna (med centrum i P2 och P3) att bollarnas radie R då blir √3/2.
Sedan placerar vi in den fjärde bollen. Den skall ligga i P4 = (0, 0, a), där a än så länge är okänd. Avståndet till någon av de tre tidigare bollarna skall vara samma som avståndet mellan två av de tre bollarna. Detta avstånd är 2 * √3/2 = √3 (avståndet mellan P2 och P3). Avståndet mellan P1 och P4 är √(1² + a²). Detta skall alltså vara √3, så vi måste ha a = √2.
Nu vet vi var alla fyra bollar är placerade och behöver bara hitta centrum och räkna ut den inre radien. Och det är inte så svårt. Centrum för en tetraeder ligger på 1/3 av höjden, dvs i (0, 0, h), där h = √2/3. Avståndet därifrån upp till toppbollens yta är (a - R) - h = (√2 - √3/2) - √2/3 = 2√2/3 - √3/2. Den inre radien blir alltså 2√2/3 - √3/2.
Om vi jämför den inre radien r med bollarnas radie R ser vi att
r/R = (2√2/3 - √3/2) / (√3/2) = 4√2/(3√3) - 1 = 4√6/9 - 1 ≈ 0,089. Eftersom situationen skalar, kommer detta förhållande att vara allmängiltigt.
PS. Är osäker på om jag räknade rätt. Tycker att r/R blev mindre än väntat. Någon får gärna kontrollera.
