Tänk dig att du vill ta ut en liten liten del av yta vars area du behöver hitta. För att göra det kan du låta (u, v) variera i en liten rektangel u0 <= u <u0 + du, v0 <= v <= v0 + dv. (där du och dv är små)
Ta först för enkelhetens skull u0 = 0, v0 = 0. När då u och v varierar mellan 0 och du resp. 0 och dv, så kommer (x, y, z) variera i en liten parallellogram. Det är area på den här parallellogrammen vi vill räkna ut.
Nu vet vi att (u, v) = (0, 0) motsvarar (x, y, z) = (0, 0, 0). Vidare, så vill vi kolla vart (u, v) = (du, 0), och (0, dv) motsvarar.
(Det är nämligen så att parallellogrammens hörn i (x, y, z)-rummet är precis dom punkter som motsvaras av (u, v) = (0, 0), (u, v) = (du, 0), (u, v) = (0, dv) samt (u, v) = (du, dv))
Men hursomhelst, eftersom du och dv är små, så kan vi använda partialderivatorna för x, y och z för att räkna ut hur mycket dom ändrar sig när u och v ändras med dv. Mer specifikt, så vet vi att
(u, v) = (du, 0) motsvarar (x, y, z) = (0, 0, 0) + ( ∂x/∂u * du, ∂y/∂u * dv, ∂z/∂u * du)
och
(u, v) = (0, dv) motsvarar (x, y, z) = (0, 0, 0) + ( ∂x/∂v * dv, ∂y/∂v * dv, ∂z/∂v * dv).
Nu så spänns parallellogrammen ifråga upp av dom här två vektorerna ( ∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u)du och ( ∂x/∂v, ∂y/∂v, ∂z/∂v)dv, så dess area blir längden på kryssprodukten mellan dessa vektorer, dvs den blir
|| ( ∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u) x ( ∂x/∂v, ∂y/∂v, ∂z/∂v)|| du dv.
Det här är förstås bara runt (u, v) = (0, 0), men du kan se också att det blir samma uttryck för arean av små små (x,y,z)-rumsparallellogram motsvarande små små (u, v)-rektanglar runt andra punkter (u0, v0). Naturligtvis blir dock inte i allmänhet värdet på area av parallellogrammen densamma, då partialderivatorna ∂x/∂u, ∂y/∂u osv beror på u och v.
Men alltså, för att hitta arean så ska du bara räkna ut
integralen av || ( ∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u) x ( ∂x/∂v, ∂y/∂v, ∂z/∂v)|| du dv
över området u^2 + v^2 <= 1.
