primitiva funktioner aka integraler!

Beteckna bullens temperatur i grader med y.
Skillnaden mellan bullens temperatur och rumstemperaturen är då y - 20.
Proportionell mot skillnaden betyder k (y - 20), där k är en konstant.
Hastigheten med vilken bullens temperatur sjunker är -y'.
Detta ger ekvationen -y' = k (y - 20).
Sedan har vi två villkor: y(0) = 200 och y(1) = 152.
Från det senare villkoret kommer vi kunna bestämma k, och från det förra villkoret bestäms integrationskonstanten.

redovisar det lilla jag gjort, känner här att jag är ute och cyklar.

-y'=k(y-20)
y'(y-20)-¹=-k
∫1/(y-20) dy = ∫-k dt [dt eftersom vi har fallande temperatur m.a.p tiden]
ln|y-20| = -kt+C
y-20 = Ce^(-kt) [y(0)=20]

där slutar jag att utveckla, för jag tror redan att jag gjort grova misstag. satt även och löste en annan uppgift och får nästan som facit men vill ha bekräftelse på vart jag gör fel.

xy'-2y=x²+1
y'-2y/x=x+1/x
IF: ∫-2/x dx = -2ln x
e^(-2ln x) = e^(ln x-²) = x-² = 1/x²
Multiplicera med IF:
1/x²(y'-2y/x) = 1/x²*(x+1/x)
∫((1/x²)*y)' dy = ∫1/x+1/x³ dx
1/x²*y = ln x - 1/x² + C
y = x²ln x - 1 + Cx²

Villkor: y(1)=0, x>0

Det enda misstaget jag ser är att du har skrivit y(0) = 20. Temperaturen i början är 200, dvs du har y(0) = 200.


Du gör fel i en av termerna när du går från
∫((1/x²)*y)' dy = ∫1/x+1/x³ dx
till
1/x²*y = ln x - 1/x² + C.

haha, nej men då är det rätt, för jag menade egentligen 200.
min uträkning är:

y=180e^(-kt)+20

är det ur denna formel jag tar fram k-värdet men genom att använda villkoret y(1)=152. eller?

jaa nu vet jag.

∫((1/x²)*y)' dy = ∫1/x+1/x³ dx
1/x²*y = ln x - 1/(-2x²) + C
y = x²lnx - 1/2 + Cx²
[villkoret: y(1)=0]
0 = 1² ln 1 - 1/2 + C1² ⇒ C = 1/2
y = x² ln x -1/2 + 1/2*x²

ahh, så var det. jag glömde sätta C*1², utan hade Cx² och löste istället ut x. nu är det glasklart, ska lösa den första nu.

Korrekt.


Det var ∫ 1/x³ dx = 1/(-2x²) jag syftade på att du hade gjort fel på. Men du kanske hade andra problem också...?

gut. ska lösa den fullt ut. y = x² ln x -1/2 + 1/2*x² är facit, vilket jag fick.
gjorde däremot felet att glömma ersätta 1 i x² i Cx², men det var ett självklart misstag.
∫ 1/x³ dx = -1/(2x²), och det är vad jag skrev.
men några större problem hade jag inte, klantiga misstag bara.

edit: min ekvation på den andra uppgiften ser ut så här:
y=180e^(-kt)+20
y(1)=152
152=180e^(-k*1)+20
-ln(132/180)=k
k≈ 0,310
är det rätt? facit säger: 180*(15/11)^(-t)+20

Man kan använda antingen formen e^(-kt) eller formen a^(-t). Sambandet mellan dem är a = e^k.

Du får k = -ln(132/180) = ln(180/132), så
a = 180/132 = (12*15)/(12*11) = 15/11.

helt otroligt, då är jag med. ska ta en sista till.

y'-y=e^x har en lösningskurva som går igenom (x,y)=(0,1)

gör jag på liknande sätt om i de övriga diff.ekvationerna? den här har jag inte lyckats lösa än eftersom IF (integrerande faktor) är -1, och integrerar jag -1 m.a.p x så blir ju det x i vänsterled, men det finns inget x så lösningen kan inte vara x. blev lite luddigt, men du vet säkert.

Integrerande faktorn är e^(∫ -1 dx) = e^(-x).

ahh voilá!
fastnade på en annan under tiden...den här var svårare...

(1-x)y'-2y = x³
y'-(2y)/(1-x) = x³/(1-x)
IF: ∫-2/(1-x) dx = 2ln|1-x|
IF: e^(2ln|1-x|) = e^(ln|1-x|²)=(1-x)²
(1-x)²(y'-(2y)/(1-x)) = (1-x)²(x³/(1-x))
dy/dx*(1-x)²-(1-x)2y = x³-x^4
∫(y((1-x)²)' dy = ∫x³-x^4 dx
y(1-x)² = (x^4)/4-(x^5)/5 + C
y= ((x^4)*(1-x)-²)/4-((x^5)*(1-x)-²)/5+C(1-x)-²

villkor: x>0
hur kan utvecklingen av den sista raden bli: ((x^4)/4+(x^5)/5+C)/(1-x)²

?

Det är bara att bryta ut (1-x)-² = 1/(1-x)² ur alla termer.

Ah... nu ser jag... Tecknet framför x^5-termen skiljer. Det kan jag inte förklara med annat än att antingen du eller facit har skrivit fel. Om det nu inte är något jag missar i dina beräkningar, men de såg korrekta ut. Är för trött för att kolla noggrannare.

God natt!

ok vi tar det imorgon istället. jag börjar också bli trött, men tack för idag!
godnatt!

eller vänta, jag har skrivit fel från facit!

((x^4)/4-(x^5)/5+C)/(1-x)²

jag vill också skriva på samma form som dem gjort med det går inte. vi kan hursomhelst ta det imorgon.