primitiva funktioner aka integraler!

uppgift 4:

∫ (ln x)/x dx

hur beräknar man denna?

sen undrar jag hur jag löser föregående fråga. sist på den här sidan: https://www.flashback.org/showpost....5&postcount=48

i båda uppgifterna så måste jag antingen integrera eller derivera ln x. derivera är lättare då jag inte känner till nån primitiv funktin till ln x.

hur göra?

Ser korrekt ut.

Primitiva funktionen till ln(x) kan man få fram genom ett litet trick:
∫ ln(x) dx = ∫ 1 * ln(x) dx = [partiell integration]
= x ln(x) - ∫ x * (1/x) dx = x ln(x) - ∫ 1 dx
= x ln(x) - x

Integranden består av två faktorer där den ena är derivatan av den andra.

Generellt får man i sådana fall:
∫ f(x) f'(x) dx = (1/2) f(x)² + C

Primitiv funktion till ln: https://www.flashback.org/showpost....1&postcount=31

ok, schysst. tack även GaussBonnet!

tänkte hoppa till ett annat kapitel där jag skall lösa en diffrentialekvation. vi provar här:

bestäm y(x) om

dz/dx=yx ; z(y)=2y² och y(0)=1

sen tar jag även en tentauppgift som jag vill bekräfta:

lim x → 0 (sin (2ax))/(sin (5x))

vi ska bestämma konstanten a så att gränsvärdet får värdet 2.

mitt svar är att a=5, men stämmer det?

sin(2ax)/sin(5x) = (sin(2ax)/x)/(sin(5x)/x). Ser vi inte gränsvärdena nu på en gång så kan vi bestämma de var för sig:

(1) sin(5x)/x, låt y = 5x då går y -> 0 och x = y/5 så gränsvärdet är:
sin(y)/(y/5) = 5sin(y)/y när y -> 0 så 5

(2) sin(2ax)/x, låt z = 2ax då går z -> 0 och x = z/(2a) vilket ger dig sin(z)/(z/2a) = 2a*sin(z)/z när z -> 0 så 2a

Kombineras (1) och (2) ges nu:

lim x -> 0 sin(2ax)/sin(5x) = 2a/5, kvar nu är att lösa ekvationen 2a/5 = 2 vilket ger a = 5. Alltså har du rätt.

För den andra, du har:

dz/dx = yx
z = 2y^2

Den andra ger att dz/dx = 4y * dy/dx vilket ger:

4y * dy/dx = yx, separering av variabler ger:
4 dy = x dx
dy = (x/4) dx

Integrera båda led ger nu

y = x^2/8 + B, y(0) = 1 ger B = 1 så y = (1/8) * (x^2 + 8). för att prova det så:

z = 2y^2 = 2*(1/8)^2*(x^2 + 8)^2 = (1/32)*(x^2 + 8)^2

Nu ska:

dz/dx = yx, vilket det är om:
(1/32)*(x^2 + 8) * (2x) * 2 = (1/8) * (x^2 + 8) * x

Vilket man ser blir lika när man multiplisiserar ut (1/32) * (2x) * 2, de andra termerna är ju lika.

Hedlund: tack för svaret.

däremot kom jag att fundera på en sak.

får man byta ut högerledet dvs yx mot z=2y² och sen derivera utan att derivera vänsterledet?

alltså för mig har du barabehållit vänsterledet och samtidigt bytt ut y i högra ledet med 2y² och deriverat med avseende på x. om du deriverar så borde du väl derivera båda sidorna eller?

får man derivera ena sidan om likhetstecknet?

Man får inte byta ut yx mot z=2y² eftersom dessa inte är lika.


Nej, han behåller högerledet och sätter in uttrycket för z i vänsterledet:

z(y)=2y² ger genom kedjeregeln dz/dx = dz/dy * dy/dx = 4y y'

Det funna uttrycket för dz/dx sätts in i ekvationen (i dess vänsterled som är lika med just dz/dx):
4y y' = y x


Nej.

nu är det stop igen. jag redovisar min beräkning:

dz/dx=yx

villkor: z(y)=2y² ⇒ dz/dy=4z (men vi har ju dy/dx i vänsterledet ju?)

här menar jag att eftersom vi har dy/dx så kan vi inte sätta in dz/dy=4z som derivatan av z i det högra ledet.

alltså vi har ju derivatan av z med avseende på x som är lika med yx.
hade vi däremot haft derivatan av z med avseende på y så hade det ju blivit enkelt. eller?

jag är annars med på hela uträkningen det är bara det att vi har derivatan az med avseende på x som krånglar till det.

Du menar väl dz/dy = 4y ?


I högerledet? Hur vill du ha in det i högerledet?

I ekvationens vänsterled har vi däremot dz/dx. Om du menar att vi inte kan byta ut detta mot dz/dy har du helt rätt. Däremot har vi kedjeregeln, dz/dx = dz/dy * dy/dx, så vi kan byta ut vänsterledets dz/dx mot dz/dy * dy/dx = 4y y'.

Alltså:
vänsterledet = 4y y',
högerledet = yx,
vilket ger 4y y' = y x.

jo jag menade dz/dy=4y, men nu fattar jag. det är kedjeregeln jag inte fattade mig på. det är tydligen den de använder och kör med i boken.

fast hur fungerar kedjeregeln om jag ska derivera yx? det är väl en produkt eller?

för om jag skulle derivera yx skulle svaret bli:

dy/dx*y, x skriver jag inte ut eftersom derivatan av x är 1. är det rätt tänkt?

jag har ett liknande problem där de tillämpar lite mer "konkreta" tankegångar:

y'=xy (vollkor: y≠0)

jag börjar med att skriva om och får:

dy/dx*(1/y)=x (omskrivning med x och y termer i vardera led och integralen därefter)

∫1/y dy= ∫x dx

ln y = x²/2+c

därefter skriver jag båda leden med basen e:

y=e^(x²/2+C) det här är alltså mitt svar

i svaret står det y=Ce^(x²/2) hur kan du få C framför e?

jo jag menade dz/dy=4y, men nu fattar jag. det är kedjeregeln jag inte fattade mig på. det är tydligen den de använder och kör med i boken.

fast hur fungerar kedjeregeln om jag ska derivera yx? det är väl en produkt eller?

för om jag skulle derivera yx skulle svaret bli:

dy/dx, x skriver jag inte ut eftersom derivatan av x är 1. stämmer det?

jag har ett liknande problem där de tillämpar lite mer "konkreta" tankegångar:

y'=xy (vollkor: y≠0)

jag börjar med att skriva om och får:

dy/dx*(1/y)=x (omskrivning med x och y termer i vardera led och integralen därefter)

∫1/y dy= ∫x dx

ln y = x²/2+c

därefter skriver jag båda leden med basen e:

y=e^(x²/2+C) det här är alltså mitt svar

i svaret står det y=Ce^(x²/2) hur kan du få C framför e?

edit: förklara istället hur du skriver yx i högerledet som dz/dy*dy/dx