primitiva funktioner aka integraler!

En substitution kan hjälpa även när den knappt behövs:
∫1/(2+3x²) dx = [ x = √(2/3) t ] = ∫1/(2+2t²) √(2/3) dt
= (1/2) √(2/3) ∫1/(1+t²) dt = (1/2) √(2/3) arctan(t)
= (1/2) √(2/3) arctan(√(3/2) x)
= (1/√6) arctan(√(3/2) x)

ok, mycket bra. ska jobba vidare ett tag till och lägger upp uppgifter om jag fastnar, men jag stannar online. tack för lösningen, den här var svår.

integral från 2 till 3.
∫ (x^4-4)/(x²-x) [division för täljaren har högre gradtal] ⇒
∫ x² + x +1 dx +∫(x-4)/(x²-x) dx ⇒
[x³/3 + x²/2 + x] + ∫ x/(x²-4) dx - ∫4/(x²-4) dx
[x³/3 + x²/2 + x] + 1/2ln|x²-4| - 4 ∫ 1/(x²-4) dx
[x³/3 + x²/2 + x] + 1/2ln|x²-4| - 4*(1/4)∫ 1/((x/2)²-1) dx
[x³/3 + x²/2 + x] + 1/2ln|x²-4| - arctan x/2

vad gör jag för fel?
det fetstilta är färdigintegrerat.

∫ 1/(x²-1) dx ≠ arctan(x).
∫ 1/(x²+1) dx = arctan(x).

ahh, ok. om jag gör en subtitution på (x/2)² i nämnaren och sätter x/2 till t, då blir det:
∫ 1/(t²-1) dt = [byt tillbaka variabel]
2ln|x²/4 - 1| deriverar jag det här så får jag ju inte 1/(t² - 1).

Gör partialbråksuppdelning på 1/(t²-1). Nämnaren t²-1 = (t-1)(t+1).

mitt svar blir då:

[x³/3 + x²/2 + x + (1/2)ln|x² - 4| + (1/2)ln|t+1| + (1/2)ln|t - 1|] 2 till 3.

och fel igen. partialbråksuppdelningen lyder A/(t+1) + B/(t-1) = 1

Du menar väl A/(t+1) + B/(t-1) = 1/(t²-1)?


Du har både x och t. Har du glömt göra tillbakasubstitution?

ja, och det borde stämma. ska bara prova och stoppa in värdena frän 1 till 4.

haha, nej jag får inte rätt svar. jag får drygt 10, och de får 9,37 ungefär.
(9 + 4,5 + 3 + 0,5ln5 + 0,5ln1,5-0,5ln0,5) - (8/3 + 2 + 2 +0,5ln2) = fel!

partialbråksuppdelningen är korrekt gjord och allting ska stämma. facit måste ha fel.

när du löser talen, arbetar du mycket med standardintegralerna och försöker hitta på nåt som är likt? eller ser du direkt hur det kan skrivas?

har du lust och förenkla svaret?
jag vill gärna skriva som de har skrivit och det är: (2/3)*(ln2)²

Jag får kanske kolla på det senare.


Jag jämför med standardintegraler och försöker hitta något som är likt. Funderar också över om en partialintegration skulle kunna hjälpa.


∫ (ln (3x+1))/(3x+1) dx = [ t = 3x+1 ] = ∫ ln (t)/ t (1/3) dt
= (1/3) ∫ ln (t) * 1/t dt = [ f(t) = ln(t) ] = (1/3) ∫ f(t) f'(t) dt
= (1/3) (1/2) f(t)² = (1/6) ln(t)²
Sedan kan jag inte gå längre eftersom jag inte känner integrationsgränserna.

ja, grö så. jag måste få i mig lite mat också, har inte käkat idag än så jag dyker väl upp om nån 45, 60 minuter eller så.

ok, låter bra. det tar ett tag innan man ser en potentiell lösning om jag uttrycker det så. det är riktigt kul när man kommer in i det iallafall.

ok, good. då var det glasklart. integrationsgränserna är 0 till 1 om vi byter tillbaka från t till x som integrationsvariabel. men vi har t så det blir andra integrationsgränser. men det vet jag hur man gör, tack än en gång!