Ytterliggare en linjär algebra uppgift!

Bestäm matrisen (i standardbasen) för den linjära avbildning som geometriskt betyder spegling i planet x - y - z = 0

Tacksam för ngt tips.

Du har ju planets normalvektor n= (1 -1 -1). Utnyttja projektionsformeln för att ta fram ett linjärt ekvationssystem som beskriver speglingen.

Är spegling och projektion samma sak?

nja inte riktigt men projektionsformeln ser ju ut så här:

uv
----------- v
(abs(v))^2

medan speglingsformeln ser ut så här:

.........2uv
u - ----------- v
(abs(v))^2


(OBS ignorera punkterna innan 2uv)

Vad är u och v i det här fallen? :/

Den ser ut så? eller missuppfattade jag dig? Hittar egentligen inget om någon formel i min bok, det står säkert, men antingen fattar jag inte, eller hittar inte. :/
u - ((2uv)/(abs(v))²)*v

Vektorn v är alltså planets normalvektor och u är den vektor som du ska projicera på v. För att få u:s spegling i v använder du alltså formeln som hanman gav.

Vad har du för lärobok IRME? Ifall du har "linjär algebra" av gunnar sparr så kan jag hjälpa dig.

Utnyttja standardbasen ẽ = (e1,e2,e3). Du har:

n = (1,-1,-1) och två vektorer:
u = (0,-1,1)
v = (1,1,0)

Så att u,v tillhör planet och u,v ej sinsemellan parallella. Då gäller:

n = (1,-1,-1) = e1 - e2 - e3
u = (0,-1,1) = 0e1 - e2 + e3
v = (1,1,0) = e1 + e2 - 0e3

Vidare gäller det att, om transformationen är T: R^3 -> R^3 att:

T(v) = v => T(e1) + T(e2) = (1,1,0)
T(u) = u => -T(e1) + T(e3) = (0,-1,1)
T(n) = -n => T(e1) - T(e2) - T(e3) = (-1,1,1)

Sen kan du finna Dessa genom att göra ett ekvationssystem ... där du löser ut vad T(e1), T(e2), T(e3) är och sen är

[T] = (T(e1) T(e2) T(e3)) där man ställt de som kolonnvektorer ...