Frågor om två tal gällande Markov, statistik

Hej har en tenta imorn och har fastnat på två tal från extentor, kanske någon här som kan det

Tva personer, A och B, spelar ett bollspel. Om den som servar vinner bollen får den spelaren 1 poang och fortsatta att serva, annars far motspelaren serva nasta boll. Ansatt modellen att en spelare vinner sin serv med sannolikhet p = 0:7 och forlorar med sannolikhet q = 0:3.

a) Bestam sannolikheten att A far ett poang innan B far det, om A borjar serva. (5 p)
b) Bestam det förväntade antalet servar som sker tills A far 1 poang om A borjar serva. (5 p)

a) vet jag inte var jag ska börja direkt, på b) så ska man ställa upp tid till absorption men förstår inte svaret i facit,

tA = 1 + qtB
tB = 1 + ptB + qtA

borde det inte vara

tA = 1 + ptA + qtB
tB = 1 + qtA

Nästa fråga

Vi tänker oss att personer lever för evigt och inteåldras. En person kan antingen ha arbete,
vara arbetslös eller vara förtidspensionerad. Sannolikheten att en person som har arbete
under en kort tidsperiod ∆t (år) övergår till arbetslös är 0.2∆t (dvs. med intensiteten 0.2
per år). Sannolikheten att en arbetslös person under tiden ∆t får ett arbete är 4∆t och
sannolikheten att kan blir förtidspensionerad (av arbetsmarknadsmässiga skäl) är 0.5∆t.
En person som har arbete blir aldrig förtidspensionerad direkt, och en förtidspensionerad
person förblir så för evigt.
a) En person börjar ett arbete och tjänar 280 000 kronor omåret medan han arbetar, och har
224 000 kronor omåret i arbetslöshetsersättning när han är arbetslös. Som förtidspensionerad
har han ingen inkomst, utan lever på luft.
Bestäm personens förväntade totala inkomst.

Fått fram en intensitetmatris som är

-0,2 0,2 0
4 -4,5 0,5
0 0 0

men vet inte vad som ska göras sen i facit står det
Låt x vara den förväntade inkomsten om man börjar i arbete, och y vara den förväntade
inkomsten om man börjar som arbetslös. Man får då ekvationssystemet

280 000 − 0.2x + 0.2y = 0
224 000 − 4.5y + 4x = 0

Tack på förhand

En ekvation som anger r
Förklaring: A har chansen p att få poäng när A servar. Chansen att detta inte sker är (1 - p) och i så fall servar B och då är chansen s att A får den första poängen.

En ekvation som anger s
Förklaring: För att kunna få nästa poäng måste B förlora bollen i sin serv. Om så sker går serven över till A och då har A chansen r att få den första poängen.

Sätt in den andra ekvationens högerled i den första ekvationen:
anta att 0 < p < 1

Det blir problem med divisionerna om p skulle vara 0 eller 1. Om p = 1 så är t = 1. Om p = 0 så är t hur stort som helst.

En ekvation som anger t
Förklaring: När A ska serva är det chansen p att det är 1 serv kvar till dess A får poäng. Om A förlorar bollen, vilket sker med chansen 1 - p, så har antalet servar innan A får poäng ökat med 1 och förväntade antalet återstående servar är därefter u.

En ekvation som anger u
Förklaring: När B ska serva är det chansen p att B vinner bollen och i så fall läggs ännu en serv till räkningen, varefter återigen det förväntade återstående antalet servar till A första poäng är u. Chansen att B förlorar bollen är (1 - p), och om så sker så läggs ännu en serv till räkningen, varefter återigen det förväntade återstående antalet servar till A första poäng är t.

Lös ut u ur den andra akvationen:
Sätt in högerledet ovan i ekvationen som anger t:

Detta är ofta inte ett heltal och på så sätt ganska oförväntat, men det är det som menas med "förväntat antal".

... kanske jag försöker mig på en annan gång om ingen annan hinner före.