Komplexa tal och arctanx!

Hej!

Dessa tre uppgifter har jag försökt med ett tag men har inte kommit någon vart, speciellt det med komplexa tal har tagit slut på mig.

Om någon har förslag, tips, råd eller annan slags av hjälp så är jag väldigt tacksam för det.

Uppgifterna kan ni se om ni trycker på länken nedan.

http://img111.imageshack.us/my.php?i...8428466uu5.jpg

jag har faktiskt hamnat på samma problem har liknade uppgifter, har suttit blödande med pennan men allt blir fel, hade gärna hjälpt dig men jag uppskattar alla hjälp precis som du gör!!

Jasså? Det är jobbigt när man ska få in olika trigonometriska formler. Du kan ju skicka dina uppgifter för att se om det går o lösa dom?

1. Man har att Sinx=(e^ix-e^-ix)/2, Cosx=(e^ix+e^-ix)/2 (verifiera). Sätt in detta i VL i formeln och förenkla.
2.låt w =1+2i-z. då har man w=(-81)^(1/4)=(81e^(3pi/2i))^1/4=3e^(3pi/8i)=3(Cos(3pi/8)+iSin(3pi/8)) sedan är det bara lösa för z. Generellt för sådana uppgifter då man ska dra roten ur ett komplext tal, så skriver man om talet på polär form Re^ix, ie om man ska dra r-roten ur z, så gör man såhär:
z^1/r=(Re^ix)^1/r=(R^1/r)e^(ix/r)=R^1/r(Cos(x/r)+iSin(x/r)).
3. 4f(x)=4y=arctan3x->x=tan(4y)/3 dvs inversen g är:
g=tan(4x)/3, definierad i -pi/2<4x<pi/2->-pi/8<x<pi/8.

Tack så jättemycket för dina svar, det underlättade en del, uppskattar det.

Har bara en fråga! Verifieringen av uppgift 1, hur går den till, jag försöker men i slutändan så får jag att VL inte är lika med HL.

Tacksam för svar!

Testade aldrig lösningen, och ser nu att det inte gick så bra (skrev fel också, ska givetvis vara Sinx=(e^ix-e^-ix)/2i)
Men vi kan testa en annan metod (som dock inte endast använder sig av eulers formel...). Först kan man inste att 4Sin²x*Cos²x=(2Sinx*Cosx)²=Sin²2x=1-Cos²2x, så vi kan substituera till nya variabler, 2x=y, samt a/2=c, b/2=b för att få snyggare ekvation. Efter multiplikation med 4 får man:
1-Cos²y=1-3Coscy/2+Cosdy-Cos3y/2. Med eulers identitet kan man utveckla Cos3y: Cos3y=Re(e^3yi)=Re((e^yi)^3)=Re((Cosy+iSiny)^3)=4C os^3y-3cosy.
ekvationen övergår i:
Cos²y=3Coscy/2-Cosdy+2Cos^3y-3Cosy/2
(Nu kan man kanske gissa att c=1, men det verkar dock inte som det fungerar...)

Man kan visa att Cosnx, där n är positivt heltal, är ett polynom i Cosx där koefficienten framför Cos^nx är skild från 0 (Cos^nx=0 har n lösningar där 0<=x<=pi, eftersom Cosx är bijektiv i det intervallet korresponderar varje rot till ett unikt värde på Cosx så polynomet måste ha n rötter, dvs grad n.) Detta ger att c,d<=3 samt att någon av dem måste vara lika med 3. (om c,d ej är heltal får man en utveckling av en oändlig potensserie vilket inte borde fungera eftersom man i slutändan ska få ett polynom i Cosy. De två potensserierna skulle kanske kunna ta ut varandra på något vis, men jag tror inte det är fallet, dock orkar jag inte försöka ge mig på ett bevis). Dock om man testar c=3 och d=3 ser man att Cos^3y termen aldrig försvinner, så det verkar som om identiteten är falsk. Dock kan jag ha resonerat/räknat fel någonstans, så någon får gärna rätta mig. Var fick TS uppgiften ifrån??

Hej Kurret!

Jag såg det från början att du missade i:et där men jag förstod det .

När det gäller uppgiften så har du inte räknat fel eller någonting för det jag som har glömt att det ska vara (cos2x)^2.

Alltså så här:
http://img178.imageshack.us/my.php?i...8768588bm3.jpg

Alltså utan det tvåan så skulle identiteten förmodligen vara falsk så du resonerade helt rätt hehe

Tack så mycket för svaren, hoppas det ska gå nu o lösa!