paradoxer inom matematiken

Enkelt. Tratten blir med tiden smalare än tjockleken på ytan, vilket gör att tjockleken inte kan bevaras. Som jag nämnde tidigare saknas det paradox om man överför detta till den fysikaliska världen, där materia faktiskt har utsträckning, och en oändligt tunn tratt inte kan finnas.

Ärligt talat så förstår jag inte varför du ska gröpa ur tratten ändå. Om man inte gör det så har tratten en oändlig massa från början pga att volymen har en ändlig massa och ytan har en oändlig, om man följer ditt resonemang.

Om man gröper ur tratten och fortfarande har en tjocklek så har man en ändlig volym, alltså en ändlig massa.

Eller har jag fortfarande inte förstått dig?

Trattens volym är ändlig. Om man fyller den med ett material, så är massan proportionell mot volymen, dvs ändlig.

Tankefelet jag syftar på är att efter urgröpningen ska väggtjockleken d>0 vara konstant över hela tratten. Det är emellertid omöjligt!

Ty, låt d>0. Då x->oo så närmar sig radien y(x) = 1/x noll obegränsat. Hur vi än väljer d>0 (d är ett ändligt stort tal) så finns det alltid ett x-värde för vilket det gäller att trattens radie y=1/x < d. Vi kan ju alltid välja ett tillräckligt stort x, bara att ta i ordentligt. Det innebär att trattens radie till höger om detta x-värde alltid blir < d. Därför kan inte väggtjockleken vara d för delen av tratten till höger om detta x.

Den del av tratten där väggtjockleken = d är således alltid en ändlig del av tratten, med ändlig volym. På resten av tratten (som är oändligt lång) gäller att radien < d. Den delen av tratten har också ändlig volym.
Alltså ingen motsägelse.

Och om d>0 är litet?

Vart vill du komma med detta?

Det räcker inte att d är litet. Det måste bli allt mindre ju längre ned i tratten man kommer.

Oavsett hur litet d>0 än är så finns det alltid en del av tratten där trattens radie är mindre än d. Alltså kan man inte utgå från att väggtjockleken är = d på hela tratten. Den del av tratten där radien < d är dessutom oändligt lång. Båda delar av tratten har ändlig volym.

Ingen motsägelse.

Men säg att d är radien på det tunnaste stället på tratten, det var det jag menade med "litet".

Det finns inget "tunnaste stället". Det blir bara tunnare och tunnare ju längre ned i tratten man kommer.

Mäter du den från topp till tå?

Ånej, minsann!
Såväl mängden av de rationella talen som mängden av de irrationella talen har oändligt många element.

Men: mängen av de rationella talen är en uppräknelig mängd. Liksom de naturliga talen resp positiva heltalen. De irrationella talen (samt förstås de reella talen) är däremot inte en uppräknelig mängd.

Med uppräknelig mängd menas att man kan numrera alla element i mängden och räkna upp dem så att varje element kommer med exakt en gång. Mera matematiskt uttryckt: en mängd är uppräknelig om det existerar en bijektion mellan mängdens element och de naturliga talen. Detta kan åstadkommas med rationella tal, däremot inte med irrationella/reella tal.

Hur man går tillväga med de rationella visades av Georg Cantor. Att man inte kan göra det med de irrationella/reella talen visades också av Cantor, det s.k. Cantors diagonalförfarande.

Att "något oändligt stort lika stort som någon annan oändlighet" inte kan vara sant ser man genom att Lebesgueintegrera funktionen

f(x) = 1 för alla rationella x på intervallet [0,1]
f(x) = 0 för alla irrationella x på intervallet [0,1]

Lebesgueintegralen på intervallet blir noll. Detta kan tolkas som att de irrationella talen är "oändligt många gånger fler än de rationella". Och detta trots att de rationella talen på intervallet är oändligt många!

Så det finns i allra högsta grad olika oändligheter.

Alltså nu är jag totalt full och drogad, men visst skall det gå att måla omkrätsen av en burk med innehållet, iaf i de flesta fall... Men det beror iofs på mängden av innehåll...

Låt oss rita det hela i en tvådimensionell skala...

AAA
AAA
AAA

Där har du 3x3, tvådimensionell form... Där ser du att omrkätsens tal är 8 medan innehållet tillsamman är 9... Samma saker borde nog gälla för tredimensionella grejer, så det skall nog gå...

I detta tillstånd tykcer jag iaf det låter logiskt...

Din burk är i högsta grad ändlig. Och det hur stor du än försöker tillverka den.
Men tratten ifråga är oändligt lång. Den har en sådan form att dess manteyta (och även tvärsnittsytan) är oändlig. Samtidigt är volymen alltså ändlig. Det finns ingen motsägelse, den enda skulle i så fall vara att det strider mot vår intuition. Men det är det faktiskt mycket som gör. Kvantmekanik till exempel.