paradoxer inom matematiken

ok...är tillbaka i morron

Jag förstår inte dig sigurdV. Du verkar förespråka ett logiskt system i vilket självreferenta satser tillåts. Är detta korrekt så långt?

Vad jag förstås så tilldelas slutna satser i ditt system två möjliga sanningsvärden: sant och inte sant. Är detta korrekt?

Gäller följande i din logik: Om x är en sluten sats, så har antingen x värdet 'sant' eller så har -x värdet 'sant'?

Vilket sanningsvärde har satsen "Denna sats är inte sann" i din logik?

Nej, onekligen kan du inte det.

Vanligtvis utgår vi från en samling axiom som är sanna per definition. Sedan säger vi att en sats S är sann omm den går att bevisa utifrån de axiom vi accepterat genom tillämpning av logiska lagar vi anser vara korrekta.

Du menar att en godtycklig sak (inte enkom sats!) är sann omm den är.

Men då kan vi ju inte tala om deriverbarhet, begrunda exempelvis S := A eller B. Enligt dig är S sann omm S. Vad betyder ens detta? Om vi utgår från att du med "omm S" menar att S är sann så har vi ett cirkelargument, enligt "S är sann omm (S är sann omm (S är sann omm ( ...." alltså kan inget annat än en axiom anses vara sant. Om vi däremot antar att du med "omm S" menar att S finns, så blir det fortfarande bekymmer. Skall S anses finnas för att vi kan skriva den? Antagligen inte, för då blir alla satser sanna. Skall S anses finnas om den går att derivera? Om svaret är ja så är det ingen skillnad mot vanlig logik och då kan vi inte låta S vara något annat än en sats.

Tills du har visat något konkret, så är allt du säger skitsnack. Således:

1. Hur kan något annat än en sats anses vara sant (utöver axiom)?
2. Hur avgör vi om en sats S är sann? Hur avgör vi om K (som inte är en sats) är sann?
3. Om S går att bevisa, är S sann då?
4. Hur kan vi någonsin bevisa att något är falskt?
5. Gäller alla vanliga logiska lagar för "inte sant"? Om så är fallet, vad är det som skiljer "falskt" från "inte sant" annat än namnet?
6. Varför säger du att det inte finns några gödelsatser? Vad baseras du det på? Förstår du vad det innebär?
7. Du måste översätta dina paradoxer till satser för att vi skall kunna tala om dem seriöst. Ta t ex "Du accepterar inte vad du just nu läser som en välformad sats inom ditt logiska system".

Slutligen, har du någon som helst utbildning inom logik / matematik? Det är klart att du kan få spåna hur mycket du vill kring saker men då är det filosofi och inte matematik.

Det förvånar mig att du inte känner till Alfred Tarskis definition av sanning!
Du borde söka på Wikipedia. http://sv.wikipedia.org/wiki/Tarski,_Alfred

Så här säger du: Enligt dig är S sann omm S

Och du missar de viktiga citationstecknen: "S" är sann omm S
I den första förekomsten omnämns S, i den andra påstås S.
"S"="Solen lyser" ger: "Solen lyser" är sann omm solen lyser.

Den här definitionen av sanning är INTE något JAG hittat på, säger jag nu för sista gången.
Från Wikipedia:

Alfred Tarski, född 1902, död 1983, polsk matematiker och logiker. Han var en ledande gestalt inom Warszawagruppen fram till dess upplösning vid andra världskrigets utbrott och verkade därefter vid University of California, USA. Mest uppmärksamhet har Tarski rönt för sin sanningsteori, som presenterades 1931 i artikeln Sanningsbegreppet i formaliserade språk. För Tarski innebär en sanningsteori att formulera en entydig och formell definition av sanningsbegreppet för ett givet språk.

Definitionen måste vara materiellt adekvat, det vill säga i tillräcklig mån svara mot en "intuitiv" uppfattning av sanningsbegreppet. Tarski föreslår i sin artikel att detta innebär att man i systemet kan härleda alla instanser av det så kallade T-schemat
S är sann om och endast om p
där p är godtycklig sats på det språk för vilket sanningsbegreppet skall definieras och S är ett namn på denna sats. Ett exempel på svenska skulle kunna vara
"Uppsalas högsta kyrka är domkyrkan" är sann om och endast om Uppsalas högsta kyrka är domkyrkan.

Och den allmänt accepterade förenklingen är: "x" är sann omm x.

Qch så hade du några frågor:
1 Det kan det inte.
2 Vi använder definitionen av sanning. OM vi erhåller ett meningslöst påstående när vi sätter in K i definitionen så är det inte sant att K.
3 Ja.
4 Genom att visa att en motsägelse uppkommer om vi antar att ditt "något" är sant.
5 (Axiom) DET SOM ÄR MENINGSLÖST är varken sant eller falskt.
(1) Anta att "inte sant" = "falskt.
(2) DET SOM ÄR MENINGSLÖST är inte sant. (sant enligt axiom)
(3) DET SOM ÄR MENINGSLÖST är falskt (enligt 1 och 2)(falskt enligt axiom)
(Slutsats) Det är inte så att "inte sant" = "falskt"

Du ser alltså att "inte sant" är applicerbart på det som är meningslöst, medan "falskt" inte är det.
Det är skillnaden.

6 Därför att när Gödel med hjälp av Gödelnumrering översätter bl. a. "inte bevisbar" till aritmetiken blir aritmetiken inkonsistent!
(Gödel säger: Antingen är aritmetiken inkonsistent eller så finns "gödelsatser".)
7 Här får du förklara bättre vad du menar

Slutligen:Ja.

Nej.
Skillnaden är att du skriver samma innebörd med olika bokstäver än vad jag (och många andra här, uppenbarligen) gör. Det jag menar med "falskt" är precis vad du menar med "inte sant". Jag, och alla andra här, är inte ute efter någon meningsskillnad, utan vill bara att du (och alla) ska använda samma terminologi som resten av världen, för att lättare förstå varandra.

Per definition (inom logiken) så är en sats falsk om den inte är sann. Att du tycker att "falskt" är ett dåligt ordval kan inte någon hjälpa, utan du får acceptera att det är så man säger, men menar precis samma sak som du gör när du säger "inte sant". Intressant, inte sant?

Det går alldeles utmärkt att säga "nonsens är falskt", när man åsyftar att nonsens inte är sant. På vilket sätt motsätter du dig det?

100% Bra frågat!

1 Ja.
2 Ja.
3 Ja.
4 Se följande, där sats 1 är ekvivalent med "Denna sats är inte sann" :

1 Sats 1 är inte sann.
2 Sats 1 = "Sats 1 är inte sann"

Om sats 1 är sann då är sats 1 inte sann och omvänt, och sats 2 är sann...
Och paradoxen uppkommer...

Men OM sats 2 inte är sann så saknar sats 3 definierat subjekt
och är varken sann eller falsk,
så logiskt sett FÅR alltså inte sats 2 vara sann!

Då behövs ett bevis, eller hur?

Anta att x = "x är inte sann"
vi får då: x är sann omm "x är inte sann" är sann
och: x är sann omm x är inte sann

En motsägelse har uppkommit och alltså finns inget x sådant att x = "x är inte sann"
Och då är det inte sant att Sats 1 = "Sats 1 är inte sann". VSB

Så här ser "mitt" logiska system ut:

Definition 1
Negation: x och y negerar varandra om och endast om sannings-värdes-tabell av "x och y"

ser ut som följer: x och y
........................sann, inte sann
................... inte sann, sann

Definition 2
Sanning: "x" är sann om och endast om x.

Identitetslagen: a=a
Motsägelselagen: Ingenting är både sant och inte sant.
Det uteslutna tredje: Allting är antingen sant eller inte sant.

Det finns lite mer att säga... betrakta systemet:

1 Sats 1 är inte sann (exempel på Lögnarsats)
2 Sats 1 = "Sats 1 är inte sann" (exempel på lögnaridentitet)

Gå upp en abstraktions nivå och vi erhåller ett icke satisfierbart system av satsfunktioner:

1 x är inte sann (negationens satsfunktion)
2 x = "x är inte sannj" (allmänt exempel på lögnaridentitet)

Gå upp till första definitionsnivå:

1 xZ (satsdefinition)
2 x = "xZ" (definition av självreferens för Z)

Och vi kan ju stanna här för tillfället...

Jag accepterar att ni säger som ni gör ... men det gör ni fel i!

Ert logiska system förbjuder ju helt i onödan det mesta... och nog sjutton menas det i vårt språk att det falska luras! Det gör inte det som varken är sant eller falskt...som till exempel morötter

Märk att morötter inte är sanna! Visst kan ni anpassa begreppet "falskt" så att det fungerar som "inte sant" men är ni beredda på min domän som innehåller ALLT! Er domän är väl bara unionen av sanna och falska SATSER!

För att vi säger som resten av världen och menar som du gör?

Du förvirra mig, min vän. Vari ligger felet?

Ok, jag missade att du hade "" runt första x:et.

"Vi använder definitionen av sanning. OM vi erhåller ett meningslöst påstående när vi sätter in K i definitionen så är det inte sant att K"

Hur definierar vi ett meningslöst påstående? Notera att det lätt blir komplicerat om vi börjar begrunda implicita referenser, t ex "k är det minsta reella talet större än noll". Det är inget meningslöst påstående till sin form, men refererar till ett icke-existerande objekt. Onekligen måste utsagan anses vara falsk då k inte kan existera. Du måste skilja på påstående och utfall/värdering. Men har jag förstått dig rätt om jag antar att du menar det jag skriver, d v s att vi säger att S inte är sann omm antagandet av S leder till en motsägelse? Det låter nämligen som du menar att en sanning erhålles genom (x -> _|_) -> _|_, vilket jag inte håller med om.

Vidare menar du att S är sann om det går att bevisa S och att om vi bevisar att antagandet av S resulterar i en orimlighet så är S falsk. Således motsäger du dig själv, då du tidigare menade att du inte tyckte att vi kunde säga att något bara var sant eller falskt (här kom "inte sant" in i bilden).


Du skriver:

(1) Anta att "inte sant" = "falskt.
(2) DET SOM ÄR MENINGSLÖST är inte sant. (sant enligt axiom)
(3) DET SOM ÄR MENINGSLÖST är falskt (enligt 1 och 2)(falskt enligt axiom)
(Slutsats) Det är inte så att "inte sant" = "falskt"

Men hur kommer du till den slutsatsen? Det underlättar även om du använder riktiga symboler, du kan t ex inte behandla "är" och "=" som ekvivalenta ting. Överlag verkar du mena att sats S sådant att S -> _|_ medför att S är inte sann snarare än falsk. Men det motsäger ditt tidigare påstående att falskhet bevisas "genom att visa att en motsägelse uppkommer om vi antar att ditt "något" är sant.".


"Därför att när Gödel med hjälp av Gödelnumrering översätter bl. a. "inte bevisbar" till aritmetiken blir aritmetiken inkonsistent! (Gödel säger: Antingen är aritmetiken inkonsistent eller så finns "gödelsatser".)"

Nej, varför skulle aritmetiken bli inkonsistent p g a detta? Ofullständigheten avser endast tillräckligt kraftfulla teorier vad gäller aritmetik.

Jag förstår inte vad det är som skulle bevisas. Svara på frågan istället. Har satsen "Denna sats är inte sann" sanningsvärdet 'sant' eller sanningsvärdet 'inte sant'?

En gång till:

1 antag att "falskt" = "inte sant"
2 det som inte påstår nånting är varken sant eller falskt (påstår ni!)
3 det som inte påstår nånting är inte sant (följer ur sats 2)
4 det som inte påstår nånting är falskt (följer ur 1 och 3)
DET INTE BARA LÅTER LÖJLIGT...DET MOTSÄGER SATS 2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Visa på vilket sätt slutledningen är felaktig eller ge upp!

2 det som inte påstår nånting är varken sant eller falskt (påstår ni!)
3 det som inte påstår nånting är inte sant (följer ur sats 2)

3 följer inte av 2.

För övrigt heter det någonting.