Sannolikhetsproblem...

Om jag slumpar 12 siffror ( 0 - 9 ) exempelvis:

256 712 348 946

o så gör jag det 50 000 000 gånger,

vad är sannoliketen att jag får två eller fler likadana 12siffriga siffersträngar?


(Jag måste svara i formatet: Sannolikheten är 1 på 10 000 exempelvis..)

Ngra idéer?

Tänk dig fallet då alla rader är unika. Sannolikheten för ditt fall är
1-"sannolikheten att alla är olika".

efter lite eftertänksamheter så borde de ju faktiskt bli:

1-(999 999 999 999/1 000 000 000 000)*(999 999 999 998/ 1 000 000 000 000)*.....*(999 950 000 000/1 000 000 000 000)

bara att börja knappa på miniräknaren

man kan ju iofs skriva det

1-(1000 000 000 000 över 999 950 000 000)/(1 000 000 000 000^50 000 000)

Vi låter x vara ett speciellt nummer.
P(x)=1/1 000 000 000 000

Av 50 000 000 skall du med återlägg plocka ut 2 eller fler x. Då får du den sökta sannolikheten om du summerar x från 2 upp till 50 000 000 vilket är samma sak som: 1 - P (x<1)= 1 - P (x är noll eller x=1) .. Och denna fördelning kallas binomialfördelning vilken du kan läsa om här: http://sv.wikipedia.org/wiki/Binomialfördelning

Denna sannolikhet kommer att landa någonstans kring 1/10^8

Jag bifogar en plot på sannolikheten som funktion av 1/p så får du se hur den ser ut.
http://img60.imageshack.us/img60/1217/70981609yq8.jpg

"Denna sannolikhet kommer att landa någonstans kring 1/10^8"


Förstår dig jag rätt att du menar att sannolikheten är ca 1 på 1 000 000 000 ?

Vad ni andra fram för svar?

Mvh

//J




ps

Vad tror ni annars om följande lösning som jag var inne på:

1 - (n över k) (n-k) !

alltså:

1 - (9^12, 5x10^6) (9^12 - 5x10^6)

?

Nej.. 1 / 10^8 = 1 på 100 000 000


Varför 9^12 som är lika med 282429536481 ?
Och varför 5x10^6 ? Var det inte 50 000 000 upprepningar?

Med tanke på att det finns 1 000 000 000 000 olika kombinationer så är chansen endast 0.00005 att du får ett visst nummer efter 50 000 000 dragningar..Denna uppgiften måste du ju hittat på själv

Jag är rätt säker på att jag kommit nära iaf.

Det stämmer inte eftersom vi inte har ett speciellt x, smakpal hade rätt idé men förenklade det till fel formel.
1-(1000 000 000 000! / 999 950 000 000!)/(1 000 000 000 000^50 000 000) ska det vara.

Det var inte riktigt så jag menade, bara att varje nummer har lika liten sannolikhet att slumpas fram.

Säg om man har 10 olika nummer, varje nummer uppkommer med sannolikheten 1/10, man drar med återlägg 6 st. Då är ju sannolikheten att få 2 eller fler av samma nummer:

1- Summa [x från 0 -> 1] 6!/(6-x)!x! * (1/10)^x * (9/10)^(6 - x) = 0.11

Jag gjorde på samma sätt, dock slarvade jag men nu tror jag att jag kommit rätt.

http://img205.imageshack.us/img205/1741/p2ga2.jpg

Så sannolikheten borde nu landa kring 0.00122. Eller vad får ni?

Sannolikheten att två nummer är lika är 1 - sannolikheten att alla är olika, i fallet 10 nummer 6 drag blir det då
1 - (10/10)*(9/10)*(8/10)*(7/10)*(6/10)*(5/10) = 1 - 10!/((10-6)!*10^6)= 0.8488

Problemet med binomialfördelningen i detta fall är att den bara betraktar sannolikheten att få ett specifikt tal, och även om man tar sig förbi det så återstår problemet att flera tal kan ha slumpats fler än en gång.

Jag saknar tyvärr programvaran att beräkna svaret till TS för tillfället, men formeln står i föregående post.

Jag är inte helt med på dina uträkningar, men det bästa test jag kan komma på är att räkna med 11 dragningar. Då ska sannolikheten att få två lika vara 1. Din ekv. ser inte ut att klara det.

som jag förstår din formel:

Efter 49 999 999 dragningar av 12siffriga stränger så finns det en risk att alla 12 siffriga strängar är olika. På den 50 000 000:e dragningen är det en på 100 000 000 att få en likadan..


Borde det inte finnas med i formeln möjligheten att det kan tänkas att fler dubletter av 12 siffrigasträngar uppstår under de första 49 999 999 drgningarna? Eller har era formler med detta i beräkningarna?


Eller ÄR svaret att det är ungefär 1 på 100 000 000 att få minst en eller flera likadana 12-siffriga-stränger på 50 000 000 dragningar?


ps. Ja vi satt i onsdags med den här uppgiften som hitta på själva o blev oense om svaret ... =)

Nu är jag ingen höjdare på sannolikhetslära men ska försöka ändå.

Vid första dragningen slumpas det fram tolv specifika siffror (tex: 555555551234). Att vid dragning nummer två slumpa fram exakt samma sifferkombination som i dragning ett, är 1/10^12 (varje siffra måste överensstämma).
Sannolikheten att vid dragning tre få exakt samma siffror som i antingen dragning ett eller två är dubbelt så stor, alltså 2*1/10^12.
Sannolikheten att vid fjärde dragningen få en identisk sträng med någon av de tre tidigare strängarna är då 3*1/10^12...
Sannolikheten att den 50 000 000:e strängen är identisk med någon av föregående strängar är då 49 999 999*1/10^12

Om man nu vänder på steken: Sannolikheten att sträng tre (till exempel) INTE är identisk med sträng ett eller två, är (1-2*1/10^12)

Formeln för sannolikheten att aldrig någon gång få en likadan 12-siffrig sträng upprepad efter 50 000 000 dragningar torde man få genom produkten av alla sannolikheter:
(1-1/10^12) × (1-2*1/10^12) × ... × (1-49 999 999*1/10^12)

För att svara på TS fråga: Sannolikheten att någon gång få minst en lika dan sträng borde då vara 1 minus ovanstående prudukt.

Jag tror att detta är rätt. Om inte, förklara gärna var resonemanget brister.