Arean av en funktion

Om man ska räkna ut arean av funktion, räknar man arean för positiva värden minus arean för negativa värden, eller summerar man båda?

T.ex.: Arean för en sinusfunktion, är den noll eller oändligt stor?

Existerar en area är det ingen funktion, ty för en funktion gäller att för varje X existerar exakt ett värde för Y. En funktion kan således aldrig bilda en sluten yta. En arean av en funktion existerar således ej. Att säga att den har värdet 0 eller oändligheten är felaktigt då det förutsätter att den existerar.

Ok, men om vi skär av funktionen med y=0 då, är vår sinusfunktion oändligt stor eller noll?

Edit: Är våra inneslutna areor tillsammans oändligt stora eller noll?

Jag antar att du menar integralen och det beror på i vilket intervall du kollar. Men för sin x mellan 0 och 2pi är integralen 0.
Slarvade ihop en liten bild snabbt:
http://img337.imageshack.us/my.php?image=asdfep9.png

Du är litet enkelspårig som bara betraktar funktioner av typ ℝ → ℝ. Det finns även funktioner av typ ℝ × ℝ → ℝ vars graf (om funktionen är kontinuerlig och glatt) är en yta i ℝ³ och således har en area.


Du menar antagligen arean mellan funktionens graf och x-axeln. Om man verkligen skall ha arean räknar man allting positivt, så då kan man säga att arean blir oändlig för sinus. Men oftast beräknar man integralen, varvid de delar av kurvan som befinner sig nedanför x-axeln räknas negativt. För sinus får man då ett uttryck av typ ∞ - ∞, vilket inte är definierat. Det är därför fel att säga att uttrycket är 0, även om man gärna vill göra det.

Ok, men om man ska bestämma arean för vissa inneslutna areor, är detta samma sak som att räkna ut integralen för funktionen i intervallet där vi har våra inneslutna areor, eller ska vi räkna alla areor positivt?

Eller är det en tolkningsfråga där man kan göra som man vill?

En area kan aldrig vara negativ.

integralen kommer alltid ge dig ett positivt svar så uppstår inget problem om negativa areor. däremot uppstår det ett problem med en kurva av typen sin(x). räknar du ut integralen för 0-2pi kommer du få svaret 0 då den drar just ifrån de negativa areorna. eftersom områderna är delade får du helt enkelt räkna ut integralen för varje del för sig och sen lägga ihop, gällande en ekv. som sin(x) kan du naturligtvis bara multiplicera med antalet areor men är inte alltid så lätt.

Intressant, kan du ge ett exempel på en sådan funktion?

Hur många vill du ha?
f(x, y) = 0
f(x, y) = x + y
f(x, y) = x y
f(x, y) = x^2 + y^3 - 5
f(x, y) = x sin(y)
...

Dessas grafer z = f(x, y) är ytor (i de två första fallen t.o.m. plan) i rummet och har således areor (oändligt stor area om man inte begränsar området).

Tack för svaren, passar på att ställa en följdfråga istället för att skriva en ny tråd.

Hur räknar jag ut integraler för hand?
Säg att jag vill räkna ut integralen av f(x)=5X^3+3 i intervallet -1 till 1 (som exempel), hur gör jag?

Bestäm en primitiv funktion till f, dvs en funktion F vars derivata är f. Alltså F' = f.
Tag den primitiva funktionens värde i intervallets över ändpunkt minus dess värde i intervallets nedre ändpunkt: F(b) - F(a), om intervallet är [a, b].
Du har nu fått integralens värde.

Ex.
f(x) = 5 x^3 + 3
F(x) = (5/4) x^4 + 3 x är en primitiv funktion till f
F(1) - F(-1) = ( (5/4) 1^4 + 3*1 ) - ( (5/4) (-1)^4 + 3*(-1) ) = 6.