differential ekv.

Hej. Kan man hitta tre linjärt oberoende lösningar till ett system av två första ordningens homogena linjära diffekvationer med konstanta koefficienter. För jag tror nämligen jag hittat det. Systemtet:

A = [1 2; -5 -1]
A är en 2x2 matris
x är en 2x1 vektor

x' = A * x

Tre linjärt oberoende lösningar:
x1 = [-2cos(3t); cos(3t) + 3sin(3t)]
x2 = [-2sin(3t); sin(3t) - 3cos(3t)]
x3 = [-3sin(3t)-cos(3t); 5cos(3t)]

har kollat med wronskideterminanten flera ggr och kollat så att alla tre verkligen är lösningar och varje gång så stämmer det. Men jag har för mig att systemet bara ska ha två linjärt oberoende lösningar. Någon som ser felet?

Hur får du tre lösningar? Du kommer ju få två egenvärden och därmed två egenvektorer. Egenvärdena i detta fall blir ±3i.

Som jag ser det är inte x3 en lösning om du inte ändrar första minustecknet (framför 3sin(3t)) till ett + och i detta fall har du x1 = 3x2 + 2x3.

x3 är inte lösning till x' = A * x utan möjligen till x' = - A * x:

x3' = [-3sin(3t)-cos(3t); 5cos(3t)]' = [-9sin(3t)+3sin(3t); -15sin(3t)]

A x3 = [(-3sin(3t)-cos(3t)) + 2*5cos(3t), #] = [9cos(3t)-3sin(3t), #]

sorry men jag ser inte " [-3sin(3t)-cos(3t); 5cos(3t)]' = [-9sin(3t)+3sin(3t); -15sin(3t)] " omvandlingen görs och hur -cos(3t) ändras till sin(3t) och varför det görs. sorry för dumma frågor :P

Misstag av mig... Litet stressad av att det var dags att krypa till sängs. Det skall naturligtvis vara
[-3sin(3t)-cos(3t); 5cos(3t)]' = [-9cos(3t)+3sin(3t); -15sin(3t)]

ok jag ser mitt fel.

hur ska man på ett systematiskt sätt avgöra att den tredje lösningen är en linjär kombination av de två första

Om determinanten för matrisen [x1 x2] inte är 0.

Jag passar på att låna tråden lite.

Hur löser jag diffekvationen x' = Ax
där A är en 2x2 matris och x är en vektor med två element.

Matrisen i detta fall är A= [1 -1; 4 -3], och har endast ett egenvärde (= -1). Begynnelsevärden x(0) = [1 1].

Jag vet att ena lösningen är x = v exp(lambda * t), där v är egenvektorn och lamba är egenvärdet.

Jag hade testat att störa matrisen lite, så att den blir diagonaliserbar och sedan hade jag försökt koppla isär den. Men det kanske finns något lättare sätt som jag missar?

Om det finns en till egenvektor så har du ju den andra lösningen direkt. Annars så är den andra linjärt oberoende lösningen då är x = v*t*exp(lambda * t).