Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
2008-10-16, 21:33
  #1
Medlem
Hej. Kan man hitta tre linjärt oberoende lösningar till ett system av två första ordningens homogena linjära diffekvationer med konstanta koefficienter. För jag tror nämligen jag hittat det. Systemtet:

A = [1 2; -5 -1]
A är en 2x2 matris
x är en 2x1 vektor

x' = A * x

Tre linjärt oberoende lösningar:
x1 = [-2cos(3t); cos(3t) + 3sin(3t)]
x2 = [-2sin(3t); sin(3t) - 3cos(3t)]
x3 = [-3sin(3t)-cos(3t); 5cos(3t)]

har kollat med wronskideterminanten flera ggr och kollat så att alla tre verkligen är lösningar och varje gång så stämmer det. Men jag har för mig att systemet bara ska ha två linjärt oberoende lösningar. Någon som ser felet?
__________________
Senast redigerad av AlexSingh 2008-10-16 kl. 21:43.
Citera
2008-10-16, 23:43
  #2
Medlem
evolutes avatar
Hur får du tre lösningar? Du kommer ju få två egenvärden och därmed två egenvektorer. Egenvärdena i detta fall blir ±3i.

Som jag ser det är inte x3 en lösning om du inte ändrar första minustecknet (framför 3sin(3t)) till ett + och i detta fall har du x1 = 3x2 + 2x3.
Citera
2008-10-16, 23:44
  #3
Medlem
x3 är inte lösning till x' = A * x utan möjligen till x' = - A * x:

x3' = [-3sin(3t)-cos(3t); 5cos(3t)]' = [-9sin(3t)+3sin(3t); -15sin(3t)]

A x3 = [(-3sin(3t)-cos(3t)) + 2*5cos(3t), #] = [9cos(3t)-3sin(3t), #]
Citera
2008-10-17, 00:42
  #4
Medlem
Blackfeets avatar
Citat:
Ursprungligen postat av manne1973
x3 är inte lösning till x' = A * x utan möjligen till x' = - A * x:

x3' = [-3sin(3t)-cos(3t); 5cos(3t)]' = [-9sin(3t)+3sin(3t); -15sin(3t)]

A x3 = [(-3sin(3t)-cos(3t)) + 2*5cos(3t), #] = [9cos(3t)-3sin(3t), #]


sorry men jag ser inte " [-3sin(3t)-cos(3t); 5cos(3t)]' = [-9sin(3t)+3sin(3t); -15sin(3t)] " omvandlingen görs och hur -cos(3t) ändras till sin(3t) och varför det görs. sorry för dumma frågor :P
Citera
2008-10-17, 08:05
  #5
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Blackfeet
sorry men jag ser inte " [-3sin(3t)-cos(3t); 5cos(3t)]' = [-9sin(3t)+3sin(3t); -15sin(3t)] " omvandlingen görs och hur -cos(3t) ändras till sin(3t) och varför det görs. sorry för dumma frågor :P
Misstag av mig... Litet stressad av att det var dags att krypa till sängs. Det skall naturligtvis vara
[-3sin(3t)-cos(3t); 5cos(3t)]' = [-9cos(3t)+3sin(3t); -15sin(3t)]
Citera
2008-10-17, 13:17
  #6
Medlem
ok jag ser mitt fel.

hur ska man på ett systematiskt sätt avgöra att den tredje lösningen är en linjär kombination av de två första
Citera
2008-10-17, 17:29
  #7
Medlem
Zaxxons avatar
Citat:
Ursprungligen postat av AlexSingh
ok jag ser mitt fel.

hur ska man på ett systematiskt sätt avgöra att den tredje lösningen är en linjär kombination av de två första

Om determinanten för matrisen [x1 x2] inte är 0.
Citera
2008-11-12, 23:17
  #8
Medlem
Jag passar på att låna tråden lite.

Hur löser jag diffekvationen x' = Ax
där A är en 2x2 matris och x är en vektor med två element.

Matrisen i detta fall är A= [1 -1; 4 -3], och har endast ett egenvärde (= -1). Begynnelsevärden x(0) = [1 1].

Jag vet att ena lösningen är x = v exp(lambda * t), där v är egenvektorn och lamba är egenvärdet.
Citera
2008-11-12, 23:34
  #9
Medlem
jockelos avatar
Citat:
Ursprungligen postat av nsk
Jag passar på att låna tråden lite.

Hur löser jag diffekvationen x' = Ax
där A är en 2x2 matris och x är en vektor med två element.

Matrisen i detta fall är A= [1 -1; 4 -3], och har endast ett egenvärde (= -1). Begynnelsevärden x(0) = [1 1].

Jag vet att ena lösningen är x = v exp(lambda * t), där v är egenvektorn och lamba är egenvärdet.

Jag hade testat att störa matrisen lite, så att den blir diagonaliserbar och sedan hade jag försökt koppla isär den. Men det kanske finns något lättare sätt som jag missar?
Citera
2008-11-12, 23:42
  #10
Medlem
Om det finns en till egenvektor så har du ju den andra lösningen direkt. Annars så är den andra linjärt oberoende lösningen då är x = v*t*exp(lambda * t).
Citera

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback